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sábado, 17 de março de 2018

Fatoração 3 - Quadrado da soma e da diferença (Bem explicadinho!)



    Depois de um intervalo maior do que o previsto, vamos retomar as postagens da série "Bem Explicadinho!", agora com frequência quinzenal.
    Nessa postagem vamos dar continuidade ao estudo dos produtos notáveis e fatoração, estudando o quadrado da soma e da diferença. Já foram apresentados os seguintes tópicos sobre fatoração:



 
Quadrado da soma de dois números

    O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrados do primeiro número mais o dobro do produto do primeiro número pelo segundo mais o quadrado do segundo número. Assim, temos:

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

    Essa expressão pode ser obtida multiplicando-se os fatores e observando a distributividade da multiplicação em relação à adição.

$(x+y)^2=(x+y) \cdot (x+y) = (x+y) \cdot x + (x+y) \cdot y=x^2+yx+xy+y^2=x^2+2xy+y^2$

    Vamos ver alguns exemplo de aplicação desse produto notável.

$(x+3)^2=x^2+2 \cdot x \cdot 3 +3^2=x^2+6x+9$

$(2x+1)^2=(2x)^2+2  \cdot (2x) \cdot 1 +1^2=4x^2+4x+1$

$(3x+2y)^2=(3x)^2+2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2=9x^2+12xy+4y^2$

$(x^2+y^3)^2=(x^2)^2+2x^2y^3+(y^3)^2=x^4+2x^2y^3+y^6$


Quadrado da diferença de dois números

    O quadrado da diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro número menos o dobro do produto do primeiro número pelo segundo mais o quadrado do segundo número.

$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$

    Essa expressão pode ser obtida a partir da expressão do quadrado da soma, como segue.

$(x-y)^2=(x+(-y))^2=x^2+2 \cdot x \cdot(-y) + (-y)^2=x^2-2xy+y^2$

    Vamos ver alguns exemplo de aplicação desse produto notável.

$(x-3)^2=x^2-2 \cdot x \cdot 3 +3^2=x^2-6x+9$

$(2x-1)^2=(2x)^2-2  \cdot (2x) \cdot 1 +1^2=4x^2-4x+1$

$(3x-2y)^2=(3x)^2-2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$

$(x^2-y^3)^2=(x^2)^2-2x^2y^3+(y^3)^2=x^4-2x^2y^3+y^6$