Identidades de Gauss

Nessa postagem trazemos um artigo sobre produtos notáveis e fatoração, onde apresentamos as identidades de Gaus, suas demonstrações e diversos problemas resolvidos aplicando  essas identidades.

Identidades de Gauss - teoria e exercícios

Abraço e bom gagá!!!

X-MAP Produtos Notáveis e Fatoração

Nesse X-MAP apresentamos as principais técnicas de produtos notáveis e fatoração, assunto recorrente na maioria dos concursos.

Recomendações de uso:  Todos os temas são importantes, precisam ser muito bem estudados e você precisa fazer muitos exercícios. Mas, na hora de relembrar os assuntos, use o seu X-MAP!

X-MAP's já lançados:

 Números complexos

Trigonometria 1

Função

Função exponencial

Logaritmos

Polinômios.

Equações polinomiais

Funções trigonométricas

Coloque nos comentários quais assuntos você gostaria de ver em um X-MAP.

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Abraço e bom gagá!!!

Desafio X-MAT 008/2020

Essa questão me foi apresentada como dúvida de alguns de meus alunos que estão se preparando para o concurso de admissão ao Colégio Naval (CN). Ela apareceu na Olimpiada Nacional de Matemáticas do Chile em 1994. É normal, nesse tipo de questão, avaliar os primeiros casos e muitos estudantes tendem a associar a resposta à paridade do expoente e acabam errando. Veja a seguir três soluções para esse problema. As duas primeiras envolvem apenas técnicas apresentadas no ensino fundamental.

Seguem um arquivo com a teoria sobre as fórmulas de De Moivre, necessária para a solução usando números complexos, e alguns exercícios do ITA sobre esse assunto resolvidos.

NÚMEROS COMPLEXOS - FORMA TRIGONOMÉTRICA E FÓRMULAS DE DE MOIVRE

Abraço e bom gagá!!!

Fatoração 4 - Cubo da soma e da diferença (Bem explicadinho!)

    Nessa postagem vamos dar continuidade ao estudo dos produtos notáveis e fatoração, estudando o cubo da soma e da diferença. Já foram apresentados os seguintes tópicos sobre fatoração:

Fatoração 1: Evidenciação e Agrupamento

Fatoração 2: Diferença de quadrados

Fatoração 3: Quadrado da soma e da diferença

  

Cubo da soma de dois termos

    O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo. Assim, temos:

$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

     Uma outra maneira de escrever essa expressão, que costuma ser útil é a seguinte:

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab \cdot(a+b)$

     As expressões acima podem ser obtidas utilizando-se a distributividade da multiplicação em relação à adição. Assim, temos:

$(a+b)^3=(a+b)^2 \cdot(a+b)=(a^2+2ab+b^2) \cdot (a+b)=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=$

                                     $= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

     Vamos apresentar alguns exemplos de aplicação desse produto notável.

$(x+2)^3=x^3+3 \cdot x^2 \cdot 2 +3 \cdot x \cdot 2^2 +2^3=x^3+6x^2+12x+8$

$ (2x+1)^3=(2x)^3+3 \cdot (2x)^2 \cdot 1+3 \cdot 2x \cdot 1^2+1^3=8x^3+12x^2+6x+1$

$(3x+2y)^3=(3x)^3+3 \cdot (3x)^2 \cdot 2y+3 \cdot 3x \cdot (2y)^2+(2y)^3=27x^3+54x^2y+36xy^2+8y^3$

$(x^2+y^3)^3=(x^2)^3+3 \cdot(x^2)^2 \cdot y^3+3 \cdot x^2 \cdot(y^3)^2 + (y^3)^3=x^6+3x^4y^3+3x^2y^6+y^9$

Cubo da diferença de dois termos

    O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo. Assim, temos:

$ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

     Uma outra maneira de escrever essa expressão, que costuma ser útil é a seguinte:

$(a-b)^3=a^3-b^3-3ab \cdot(a-b)$

     As expressões acima podem ser obtidas utilizando-se a distributividade da multiplicação em relação à adição. Assim, temos:

$(a-b)^3=(a-b)^2 \cdot(a-b)=(a^2-2ab+b^2) \cdot (a-b)=a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3=$

                                     $= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

     Vamos apresentar alguns exemplos de aplicação desse produto notável.

$(x-2)^3=x^3-3 \cdot x^2 \cdot 2 +3 \cdot x \cdot 2^2 -2^3=x^3-6x^2+12x-8$

$ (2x-1)^3=(2x)^3-3 \cdot (2x)^2 \cdot 1+3 \cdot 2x \cdot 1^2-1^3=8x^3-12x^2+6x-1$

$(3x-2y)^3=(3x)^3-3 \cdot (3x)^2 \cdot 2y+3 \cdot 3x \cdot (2y)^2-(2y)^3=27x^3-54x^2y+36xy^2-8y^3$

$(x^2-y^3)^3=(x^2)^3-3 \cdot(x^2)^2 \cdot y^3+3 \cdot x^2 \cdot(y^3)^2 - (y^3)^3=x^6-3x^4y^3+3x^2y^6-y^9$

Fatoração 3 - Quadrado da soma e da diferença (Bem explicadinho!)

    Depois de um intervalo maior do que o previsto, vamos retomar as postagens da série "Bem Explicadinho!", agora com frequência quinzenal.
    Nessa postagem vamos dar continuidade ao estudo dos produtos notáveis e fatoração, estudando o quadrado da soma e da diferença. Já foram apresentados os seguintes tópicos sobre fatoração:

Fatoração 1: Evidenciação e Agrupamento

Fatoração 2: Diferença de quadrados

 

Quadrado da soma de dois números

    O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrados do primeiro número mais o dobro do produto do primeiro número pelo segundo mais o quadrado do segundo número. Assim, temos:

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

    Essa expressão pode ser obtida multiplicando-se os fatores e observando a distributividade da multiplicação em relação à adição.

$(x+y)^2=(x+y) \cdot (x+y) = (x+y) \cdot x + (x+y) \cdot y=x^2+yx+xy+y^2=x^2+2xy+y^2$

    Vamos ver alguns exemplo de aplicação desse produto notável.

$(x+3)^2=x^2+2 \cdot x \cdot 3 +3^2=x^2+6x+9$

$(2x+1)^2=(2x)^2+2  \cdot (2x) \cdot 1 +1^2=4x^2+4x+1$

$(3x+2y)^2=(3x)^2+2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2=9x^2+12xy+4y^2$

$(x^2+y^3)^2=(x^2)^2+2x^2y^3+(y^3)^2=x^4+2x^2y^3+y^6$

Quadrado da diferença de dois números

    O quadrado da diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro número menos o dobro do produto do primeiro número pelo segundo mais o quadrado do segundo número.

$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$

    Essa expressão pode ser obtida a partir da expressão do quadrado da soma, como segue.

$(x-y)^2=(x+(-y))^2=x^2+2 \cdot x \cdot(-y) + (-y)^2=x^2-2xy+y^2$

    Vamos ver alguns exemplo de aplicação desse produto notável.

$(x-3)^2=x^2-2 \cdot x \cdot 3 +3^2=x^2-6x+9$

$(2x-1)^2=(2x)^2-2  \cdot (2x) \cdot 1 +1^2=4x^2-4x+1$

$(3x-2y)^2=(3x)^2-2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$

$(x^2-y^3)^2=(x^2)^2-2x^2y^3+(y^3)^2=x^4-2x^2y^3+y^6$

Fatoração 2 - Diferença de quadrados (Bem explicadinho!)

    Essa é a segunda postagem da série Bem explicadinho! Nós vamos dar sequência ao estudo dos produtos notáveis e fatorações apresentando a diferença de quadrados. Apesar de simples, essa fatoração é muito frequente nos problemas.

Diferença de quadrados

    O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro número menos o quadrado do segundo número.
    Isso é consequência da distributividade da multiplicação em relação à adição, conforme desenvolvimento a seguir.

$(x+y)(x-y)=x \cdot (x-y) +y \cdot  (x-y)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2$

    A expressão também é frequentemente aplicada no sentido contrário para escrever a diferença entre dois quadrados como o produto da soma pela diferença das bases.

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

    Vamos agora apresentar alguns exemplos de aplicação desse produto notável.

$(x+1)(x-1)=x^2-1^2=x^2-1$

$(3ab+8)(3ab-8)=(3ab)^2-8^2=9a^2b^2-64$

$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$

$ 4x^2-9y^2= (2x)^2-(3y)^2=(2x+3y)(2x-3y)$

Fatoração 1 - Evidenciação e agrupamento (Bem explicadinho!)

Essa é a primeira postagem de uma nova série semanal chamada "Bem explicadinho!". Nessas postagens serão apresentados diversos conteúdos com teoria e exercícios de maneira bem detalhada, a fim de permitir ao estudante um bom entendimento sobre o assunto e a capacidade de resolver exercícios mais complexos. Os exercícios apresentados estarão dispostos em grau de dificuldade crescente e terão soluções detalhadas para consulta.

Evidenciação e Agrupamento

    Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la na forma de um produto de fatores de grau menor do que o da expressão original. Assim, o produto $(x+1) \cdot (x+2) $ é uma fatoração de $x^2+3x+2$. 

    Nesse momento, você ainda não precisa se preocupar em como encontrar $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$. O objetivo, por enquanto, é apenas identificar que essas duas expressões são iguais e que a expressão da direita é a fatoração da expressão da esquerda.

    Produtos notáveis são expressões frequentes no desenvolvimento ou fatoração de expressões algébricas, que costumam ser memorizadas.

    Um produto notável comum é a diferença de quadrados, que tem como resultado o produto da soma pela diferença das bases e permite escrever, por exemplo, $x^2-1=(x+1)(x-1)$.

    Vamos agora estudar a primeira técnica de fatoração chamada evidenciação, que consiste em colocar em evidência um fator comum às diversas parcelas de uma soma algébrica. Isso é consequência da distributividade da multiplicação em relação à adição e à subtração. Observe os exemplos a seguir:

$a \cdot b+a \cdot c=a \cdot (b+c)$

$a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b-c)$

$a \cdot b - a \cdot c +a \cdot d = a \cdot (b-c+d)$