Considere a equação (I) na incógnita $x$ e a equação (II) na incógnita $y$, a seguir:
(I) $ \cfrac{x}{m-n}-\cfrac{5m}{m+n}=\cfrac{2nx}{m^2-n^2}$, com $m^2 \neq n^2$.
(II) $ 2y^2+xy+8=0$
O valor de $x$ da equação (I) é substituído na equação (II). Se a equação (II), após esta substituição, possui conjunto solução distinto do conjunto vazio nos números reais, então o conjunto mais amplo dos valores de $m$ que atendem esta condição é
a) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space m \le - \cfrac{8}{5}\space ou\space m \ge \cfrac {8}{5} \right\} $
b) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | - \cfrac{8}{5} \le m \le \cfrac {8}{5} \right\} $
c) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space m \ge \cfrac {8}{5} \right\} $
d) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space m = \pm \cfrac {8}{5} \right\} $
RESOLUÇÃO: a
BIZU: Seja uma equação do 2º grau da forma $ax^2+bx+c=0$, com $a \ne 0$. O seu discriminante é dado por $ \Delta = b^2-4\cdot a \cdot c$. Assim, temos:
Se $\Delta < 0$, então a equação não possui raízes reais.
Se $ \Delta = 0$, então a equação possui uma raiz real dupla.
Se $ \Delta >0$, então a equação possui duas raízes reais distintas.
Vamos resolver a equação (I).
Observemos, inicialmente, que $m^2 \neq n^2 \Leftrightarrow m \ne \pm n$.
O mmc dos denominadores é $(m+n)(m-n)$. Reduzindo as frações ao mesmo denominador, vem:
$ \cfrac{x}{m-n}-\cfrac{5m}{m+n}=\cfrac{2nx}{m^2-n^2}$ $ \Leftrightarrow x \cdot (m+n) -5m \cdot (m-n)= 2nx \cdot 1$
$ \Leftrightarrow xm+xn-5m^2+5mn=2nx$ $ \Leftrightarrow xm-xn=5m^2-5mn$
$ \Leftrightarrow x \cdot (m-n)=5m \cdot (m-n) \Leftrightarrow x=5m$
Substituindo $x=5m$ na equação (II), temos: $ 2y^2+5my+8=0$.
Para que essa equação tenha conjunto solução não vazio nos reais, seu discriminante deve ser não-negativo. Assim, temos:
$ \Delta = (5m)^2-4\cdot2\cdot8=25m^2-64 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - \cfrac{8}{5}\space ou\space m \ge \cfrac {8}{5}$
que aparece na alternativa a).
Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.
Abraço e bom
gagá!!!
