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sexta-feira, 27 de outubro de 2017

Prova de Matemática da EsPCEx 2017-2018

Nesta postagem encontra-se a Prova de Matemática da concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) de 2017-2018, detalhadamente resolvida e classificada por assunto.



A seguir encontra-se um quadro resumo da classificação das questões por assunto dos últimos 10 anos de prova.


Já disponível, no site clube de autores, a 3ª edição do livro X-MAT Volume 6 com as provas da EsPCEx de 2009 a 2018 (10 anos) resolvidas e classificadas por assunto, além de listas complementares de exercícios resolvidos de funções, progressões, logaritmos, análise combinatória e probabilidade, trigonometria e geometria espacial.



Abraço e bom gagá!!!

quinta-feira, 19 de outubro de 2017

O teorema de Ptolomeu e a questão 14 da 1ª fase do IME 2018

Teorema de Ptolomeu

Em um quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.

Seja o quadrilátero inscritível ABCD da figura a seguir, então $ p \cdot q = a \cdot c + b \cdot d$.
Demonstração:
Seja $AJ$ uma ceviana isogonal a $AC$, então
$B\hat{A}J=C\hat{A}D$ e $A\hat{B}J=A\hat{C}D$ (ângulos inscritos relativos ao arco AD menor) $\Rightarrow \triangle AJB \sim ADC$
$\Rightarrow \cfrac{BJ}{CD}=\cfrac{AB}{AC}$     (i)
$D\hat{A}J=C\hat{A}B$ e $A\hat{D}J=A\hat{C}B$ (ângulos inscritos relativos ao arco AB menor) $\Rightarrow \triangle AJD \sim ABC$
$\Rightarrow \cfrac{DJ}{BC}=\cfrac{AD}{AC}$     (ii)
De (i) e (ii), vem: $BJ+DJ=\cfrac{AB \cdot CD}{AC} + \cfrac{AD \cdot BC}{AC} \Leftrightarrow AC \cdot BD=AB \cdot CD + AD \cdot BC$


Vamos agora aplicar esse teorema para resolver de forma muito simples a questão 14 da prova de Matemática da 1ª fase do IME de 2018.

Seja um heptágono regular de lado $l$ cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz à qual das expressões?
a) $\cfrac {l \cdot d}{d-l}$
b) $\cfrac{d^2}{d-l}$
c) $\cfrac {l \cdot d}{d+l}$
d) $\cfrac{l^2}{d+l}$
e) $\cfrac{3 \cdot d}{2}$

RESOLUÇÃO: a
Seja  ABCDEFG o heptágono regular descrito no enunciado e seja $x$ a medida da sua maior diagonal. Sabemos que o heptágono regular é inscritível em uma circunferência.

Assim, o quadrilátero ACDE é inscritível e podemos aplicar o teorema de Ptolomeu.
$AD \cdot CE=AC \cdot DE + CD \cdot AE \Leftrightarrow x \cdot d = d \cdot l + l \cdot x \Leftrightarrow x = \cfrac {l \cdot d}{d-l}$.

Note ainda que não é a primeira vez que o teorema de Ptolomeu pode ser utilizado para resolver questões do IME. Já apareceram questões de aplicação desse teorema, pelo menos, nos anos de 2004, 1987 e 1966 e também na prova do ITA de 1995.

Abraço e bom gagá!!!


domingo, 1 de outubro de 2017

Prova de Matemática do Colégio Naval 2017-2018

Nessa postagem encontra-se a resolução da prova de Matemática do concurso de admissão ao Colégio Naval de 2017 - 2018.







A seguir está uma tabela com a incidência de questões por assunto dos últimos 10 anos dessa prova.


Em breve estará disponível, na editora Dissonnarte, a 2ª edição do livro X-MAT Volume 5 com as provas do Colégio Naval de 1994 a 2018 (25 anos) resolvidas e classificadas por assunto, além de tópicos complementares de teoria.

Abraço e bom gagá!!!