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quarta-feira, 9 de agosto de 2017

IME 2011 - QUESTÃO 10 - Um determinante interessante

A questão a seguir foi a 10ª da prova de Matemática discursiva do concurso de admissão ao Instituto Militar de Engenharia (IME) de 2010-2011.

Mostre que o determinante abaixo apresenta valor menor ou igual a 16 para todos os valores de $a$, $b$ e $c$, pertencentes ao conjunto dos números reais, que satisfazem a equação $a^2+b^2+c^2=4$.

$\left| \begin{matrix} a+b & b+c & c+a \\ c+a & a+b & b+c \\b+c & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

RESOLUÇÃO:
No determinante $\Delta = \left| \begin{matrix} a+b & b+c & c+a \\ c+a & a+b & b+c \\b+c & c+a & a+b \end{matrix} \right|$, vamos somar as 2ª e 3ª colunas à 1ª coluna.


 $\Delta = \left| \begin{matrix} 2\cdot(a+b+c) & b+c & c+a \\ 2\cdot(a+b+c) & a+b & b+c \\2 \cdot(a+b+c) & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

Agora, vamos colocar $2\cdot(a+b+c)$ em evidência na 1ª coluna.

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot \left| \begin{matrix} 1 & b+c & c+a \\ 1 & a+b & b+c \\1 & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

Vamos subtrair a 2ª linha da 3ª linha e, depois, a 1ª linha da 2ª linha.

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot \left| \begin{matrix} 1 & b+c & c+a \\ 0 & a-c & b-a \\0 & c-b & a-c \end{matrix} \right|$

Aplicando o teorema de Laplace com base na 1ª coluna, temos:

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot 1 \cdot (-1)^{1+1} \left| \begin{matrix}  a-c & b-a \\ c-b & a-c \end{matrix} \right| = 2 \cdot (a+b+c) \cdot \left[ (a-c)^2 - (b-a)(c-b) \right] $

$ \quad= 2 \cdot (a+b+c) \cdot (a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab)$

Fazendo $a+b+c=x$, temos:
 $x^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=4+2(ab+ac+bc) \Leftrightarrow ab+ac+bc=\cfrac{x^2-4}{2}$

Assim, o determinante será dado por: $\Delta = 2 \cdot x \cdot \left( 4-\left( \cfrac{x^2-4}{2} \right) \right) = -x^3+12x $

Seja $ P(x) = -x^3+12x$, então a sua primeira derivada é $ P'(x) =-3x^2+12$, que se anula para $x=\pm2$, e a sua segunda derivada é $P"(x) = -6x$. Como $ P"(-2) = 12 > 0$, então $P(-2)=-16$  é um ponto de mínimo local e, como $ P"(2) = -12 < 0$, então $P(2)=16$ é um ponto de máximo local.

Observe que, se $x$ pudesse variar em todo o conjunto dos reais, a imagem de $P(x)$ seria $]-\infty,+\infty[$ e o ponto $P(2)=16$ não seria um máximo absoluto.

Entretanto, $x=a+b+c$, com $a^2+b^2+c^2=4$ e $a$, $b$ e $c$ reais, o que limita os valores de $x$. Vamos estudar, então, em que intervalo $x$ pode variar. Para isso vamos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz com os vetores $u=(1,1,1)$ e $v=(a,b,c)$. Assim, temos:

$|u\cdot v|\le|u||v| \Rightarrow |1\cdot a +1\cdot b + 1\cdot c|\le \sqrt{1^2+1^2+1^2} \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3} \sqrt{4}=2\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow |x|=|a+b+c| \le 2 \sqrt{3} \Leftrightarrow -2\sqrt{3} \le x \le 2\sqrt{3}$

Portanto, o domínio de $x$ é $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$. Como $P(-2\sqrt{3})=P(2\sqrt{3})=0<16$, então $P(2)=16$ é um máximo absoluto, e podemos afirmar que o determinante é menor ou igual a $16$.


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sábado, 29 de julho de 2017

Prova de Matemática da EPCAr 2017

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAr) de 2016-2017 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.




A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 8 anos de prova.




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Prova de Matemática da EsPCEx 2017

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) de 2016-2017 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.


A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 7 anos de prova.



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quinta-feira, 27 de julho de 2017

Prova de Matemática da EFOMM 2017

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) de 2016-2017 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.



A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 9 anos de prova.



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terça-feira, 25 de julho de 2017

Questão de probabilidade da prova de Matemática da EFOMM-2017

Seis alunos da EFOMM – três paranaenses, dois cariocas e um alagoano – são colocados em uma fila aleatoriamente. Qual é a probabilidade, então, de que nenhum conterrâneo fique ao lado do outro?
a) $\cfrac{3}{31}$
b) $\cfrac{1}{36}$
c) $\cfrac{1}{24}$
d) $\cfrac{1}{12}$
e) $\cfrac{1}{6}$

RESOLUÇÃO: e

O número de casos do espaço amostral $\Omega$ é a permutação dos $6$ alunos. Assim, temos:

$\#\Omega = 6!=720$.

Para que não haja conterrâneos lado a lado, temos os seguintes casos possíveis.

1º) Os paranaenses estão nas posições 1,3,5 ou 2,4,6. Nesses casos, não há como os cariocas ficarem
lado a lado, então basta permutar os outros 3 alunos. Assim, o número de casos aqui é $2\cdot3!\cdot3!=72$.

2º) Se os paranaenses estão na posição 1,3,6 ou 1, 4,6, um dos cariocas tem que ficar, necessariamente, entre os dois paranaenses mais próximos. Logo, o número de casos é $ 2\cdot3!\cdot2\cdot2=48$.  (dois casos, vezes a permutação dos paranaenses entre si, escolha de um dos dois cariocas para ficar separado e permutação do carioca e do alagoano).

Portanto, o número de casos favoráveis é $\#A= 72+ 48=120$.

Portanto, a probabilidade pedida é $ P(A)=\cfrac{\#(A)}{\#(\Omega)}=\cfrac{120}{720}=\cfrac{1}{6}$.

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quarta-feira, 19 de julho de 2017

Questão de operações com mercadorias da prova de Matemática da EPCAr-2018

Uma empresa de artigos de perfumaria oferece a seguinte modalidade na negociação de seus  produtos: “Qualquer pessoa que se cadastre como vendedor tem autonomia para estabelecer o preço de venda e recebe uma comissão sobre o lucro que conseguir.”
No mês de fevereiro, um vendedor recebeu uma caixa com vários frascos iguais de um perfume que era lançamento para o Dia das Mães, e teve duas semanas de prazo para efetuar as vendas e esgotar o estoque que estava sob sua responsabilidade.
Ao final da 1ª semana, verificou que restava apenas $\cfrac{1}{4}$ do estoque que recebera, sendo que, assim, ele já havia apurado $\cfrac{39}{40}$ do custo da caixa inteira de perfumes.
Na semana seguinte ele vendeu o restante dos frascos conservando o mesmo preço de venda.
Sabe-se que o vendedor recebe uma comissão de $ 45\%$  sobre o lucro que obtiver.
Neste caso, a cada $ R\$ 100,00$ que esse vendedor receber com suas vendas lhe dará direito a uma comissão cujo valor, em reais, está entre
a) $8$ e $10$ 
b) $10$ e $12$ 
c) $12$  e $14$
d) $14$ e $16$

RESOLUÇÃO: b

BIZU: O lucro em uma operação é a diferença entre a receita e o custo.

Como o preço de venda é o mesmo na primeira e na segunda semanas, e chamando de $V$ a receita total de vendas nas duas semanas, então na primeira semana a receita foi $ \cfrac{3}{4}V$ e na segunda semana foi $\cfrac{1}{4}V$.
Seja $C$ o custo total da caixa de perfumes, então a receita de vendas na primeira semana, $ \cfrac{3}{4}V$, foi igual a $\cfrac{39}{40}C$. Assim, temos:

$ \cfrac{3}{4}V=\cfrac{39}{40}C \Leftrightarrow C=\cfrac{10}{13}V$

O lucro $L$ nas duas semanas é dado por $L=V-C=V- \cfrac{10}{13}V=\cfrac{3}{13}V$.
A comissão do vendedor é $45\%$ do lucro, então temos:

$comissão= 45\% \cdot L = \cfrac{45}{100} \cdot \cfrac{3}{13}V=\cfrac{135}{1300}V$.

Portanto, a uma venda $V$, corresponde uma comissão de $\cfrac{135}{1300}V$. Assim, a cada $ R\$ 100,00$ de vendas, a comissão será de

 $comissão=\cfrac{135}{1300}\cdot 100= \cfrac{135}{13}\approx10,4$,

que está entre $10$ e $12$ (alternativa b).

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Observação: O enunciado sofreu uma pequena adaptação para dar mais clareza e precisão.

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terça-feira, 18 de julho de 2017

Questão de equações da prova de Matemática da EPCAr-2018

Considere a equação (I) na incógnita $x$ e a equação (II) na incógnita $y$, a seguir:

(I)  $ \cfrac{x}{m-n}-\cfrac{5m}{m+n}=\cfrac{2nx}{m^2-n^2}$, com $m^2 \neq n^2$.

(II)  $ 2y^2+xy+8=0$

O valor de $x$ da equação (I) é substituído na equação (II). Se a equação (II), após esta substituição, possui conjunto solução distinto do conjunto vazio nos números reais, então o conjunto mais amplo dos valores de $m$ que atendem esta condição é

a) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space m \le - \cfrac{8}{5}\space ou\space m \ge \cfrac {8}{5} \right\} $
b) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | - \cfrac{8}{5} \le m  \le \cfrac {8}{5} \right\} $
c) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space  m  \ge \cfrac {8}{5} \right\} $
d) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space  m  = \pm \cfrac {8}{5} \right\} $

RESOLUÇÃO: a

BIZU: Seja uma equação do 2º grau da forma $ax^2+bx+c=0$, com $a \ne 0$. O seu discriminante é dado por $ \Delta = b^2-4\cdot a \cdot c$. Assim, temos:

Se $\Delta < 0$, então a equação não possui raízes reais.
Se $ \Delta = 0$, então a equação possui uma raiz real dupla.
Se $ \Delta >0$, então a equação possui duas raízes reais distintas.

Vamos resolver a equação (I).

Observemos, inicialmente, que $m^2 \neq n^2 \Leftrightarrow m \ne \pm n$.

O mmc dos denominadores é $(m+n)(m-n)$. Reduzindo as frações ao mesmo denominador, vem:

$ \cfrac{x}{m-n}-\cfrac{5m}{m+n}=\cfrac{2nx}{m^2-n^2}$ $ \Leftrightarrow x \cdot (m+n) -5m \cdot (m-n)= 2nx \cdot 1$

$ \Leftrightarrow xm+xn-5m^2+5mn=2nx$ $ \Leftrightarrow xm-xn=5m^2-5mn$

$ \Leftrightarrow x \cdot (m-n)=5m \cdot (m-n) \Leftrightarrow x=5m$


Substituindo $x=5m$ na equação (II), temos: $ 2y^2+5my+8=0$.

Para que essa equação tenha conjunto solução não vazio nos reais, seu discriminante deve ser não-negativo. Assim, temos:

$ \Delta = (5m)^2-4\cdot2\cdot8=25m^2-64 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - \cfrac{8}{5}\space ou\space m \ge \cfrac {8}{5}$

que aparece na alternativa a).


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segunda-feira, 17 de julho de 2017

Questão de análise combinatória da prova de Matemática da EFOMM-2017

Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?
a) 24
b) 120
c) 480
d) 1920
e) 3840

RESOLUÇÃO: c

A palavra caravelas tem 5 consoantes e 4 vogais, sendo 1 letra “E” e 3 letras “A”.

Para que não haja duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas, o anagrama deve ser da forma:

consoante – vogal – consoante – vogal – consoante – vogal – consoante – vogal – consoante.

Dessa forma, as posições de vogais e consoantes no anagrama estão bem definidas. Basta, agora, permutar as 5 consoantes distintas entre si e as 4 vogais entre si, lembrando que, por serem 1 letra “E” e 3 letras “A”, é necessário utilizar permutação com elementos repetidos.


Portanto, a quantidade de anagramas que satisfazem as condições do enunciado é

$P_5 \cdot P_4^{1,3}=5! \cdot \cfrac{4!}{1! \cdot 3!}=120 \cdot 4=480.$


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k
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sexta-feira, 14 de julho de 2017

Questão de determinantes da prova de Matemática da EFOMM de 2017

Calcule o determinante da matriz $A$ de ordem $n$:

$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 5 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 1 & 1 & 7 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 9 &  \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 2n-1   \end{matrix} \right] $

a) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2i } $
b) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n }{ 2i-1 } $
c) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2^i } $
d) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n }{ 2^{i-1} } $
e) $\displaystyle det\left( A \right) = 1 $


RESOLUÇÃO: a


BIZU: REGRA DE CHIÓ

A Regra de Chió permite reduzir a ordem do determinante no qual $a_{11} = 1$, o que pode ser obtido realizando trocas de filas ou colocando um escalar em evidência.

Regra Prática:
1º) Seja uma matriz de ordem $n$ com $a_{11} = 1$, suprimem-se a 1ª linha e a 1ª coluna.
2º) De cada elemento restante da matriz subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas extremidades das perpendiculares, traçadas do elemento considerado à 1ª linha e à 1ª coluna, que foram suprimidas.
3º) Com as diferenças obtidas, constrói-se uma matriz de ordem $(n-1)$ cujo determinante é igual ao determinante original.

Vamos aplicar esse método para o cálculo do determinante a seguir, onde inicialmente foram trocadas as posições da 1ª e 2ª linhas e depois da 1ª e 3ª colunas para que tivéssemos $a_{11} = 1$:


$ \left| \begin{matrix}6 & 2 & 3 & 5 \\ -2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 7 & 9 \\ 0 & 15 & -2 & 3 \end{matrix} \right|=-\left| \begin{matrix}-2& 3 & 1 & 4 \\ 6 & 2 & 3 & 5 \\ 3 & 2 & 7 & 9 \\ 0 & 15 & -2 & 3 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix}\boxed{1}& 3 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & 6 & 5 \\ 7 & 2 & 3 & 9 \\ -2 & 15 & 0 & 3 \end{matrix} \right|=$            

$=\left| \begin{matrix}2-3\cdot3 & 6-3\cdot(-2)&5-3\cdot4 \\ 2-7\cdot3 & 3-7\cdot(-2) & 9-7\cdot4 \\ 15-(-2)\cdot3 & 0-(-2)\cdot(-2) & 3-(-2)\cdot4 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} -4 & 12 & -7 \\ -19 & 17 & -19 \\ 21 & -4 & 11 \end{matrix} \right| = -757$



Vamos aplicar a Regra de Chió para calcular o determinante da questão proposta.

$ det \left(A \right)=\left| \begin{matrix} \boxed{1} & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 5 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 1 & 1 & 7 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 9 &  \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 2n-1   \end{matrix} \right|_{n\times n} =

\left| \begin{matrix}  2 & 0 & 0 & 0 &  \cdots & 0  \\  0 & 4 & 0 & 0 &  \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 6 &0 &  \cdots & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 8 &  \cdots & 0 \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots & 2n-2   \end{matrix} \right|_{n\times n} =$


              $=2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dots \cdot \left( 2n-2 \right) = \displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2i } $


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quinta-feira, 13 de julho de 2017

Questão de plano no $\mathbb{R}^{3}$ da prova de Matemática da EFOMM 2017

O volume de uma pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano $\pi :\space 5x-2y+4z=20 $  é:
a) $\cfrac{20}{3}$ u.v.
b) $\cfrac{50}{3}$ u.v.
c) $\cfrac{100}{3}$ u.v.
d) $100$ u.v.
e) $200$ u.v.

RESOLUÇÃO: c

BIZU: Os denominadores abaixo de cada uma das variáveis na equação segmentária do plano representam os pontos onde o plano cruza o eixo coordenado correspondente. Assim, um plano de equação segmentária $\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}+\cfrac{z}{c}=1$ cruza o eixo $x$ no ponto de coordenadas $(a,0,0)$, o eixo $y$, no ponto de coordenadas $(0,b,0)$ e o eixo $z$, no ponto de coordenadas $(0,0,c)$.


O plano  $\pi :\space 5x-2y+4z=20 $ está representado por sua equação geral e sua equação segmentária é dada por:

 $\pi :\space 5x-2y+4z=20 \Leftrightarrow \cfrac{x}{5}+ \cfrac{y}{-10}+\cfrac{z}{5}=1$

Isso implica que o plano $\pi$ corta os eixos $x$, $y$ e $z$ nos pontos de coordenadas $(4,0,0)$, $(0,-10,0)$ e $(0,0,5)$, respectivamente.

A pirâmide determinada pelo plano $\pi$  e os eixos coordenados está a representada na figura a seguir.



O volume dessa pirâmide é dado por $V_{O-ABC}=\cfrac{1}{3}S_{OAB}\cdot OC=\cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{4 \cdot 10}{2} \cdot 5= \cfrac{100}{3}$ u.v.


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