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quinta-feira, 3 de maio de 2018

Fatoração 4 - Cubo da soma e da diferença (Bem explicadinho!)





    Nessa postagem vamos dar continuidade ao estudo dos produtos notáveis e fatoração, estudando o cubo da soma e da diferença. Já foram apresentados os seguintes tópicos sobre fatoração:




  


Cubo da soma de dois termos

    O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo. Assim, temos:


$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$




     Uma outra maneira de escrever essa expressão, que costuma ser útil é a seguinte:

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab \cdot(a+b)$

     As expressões acima podem ser obtidas utilizando-se a distributividade da multiplicação em relação à adição. Assim, temos:

$(a+b)^3=(a+b)^2 \cdot(a+b)=(a^2+2ab+b^2) \cdot (a+b)=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=$
                                     $= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

     Vamos apresentar alguns exemplos de aplicação desse produto notável.

$(x+2)^3=x^3+3 \cdot x^2 \cdot 2 +3 \cdot x \cdot 2^2 +2^3=x^3+6x^2+12x+8$

$ (2x+1)^3=(2x)^3+3 \cdot (2x)^2 \cdot 1+3 \cdot 2x \cdot 1^2+1^3=8x^3+12x^2+6x+1$

$(3x+2y)^3=(3x)^3+3 \cdot (3x)^2 \cdot 2y+3 \cdot 3x \cdot (2y)^2+(2y)^3=27x^3+54x^2y+36xy^2+8y^3$

$(x^2+y^3)^3=(x^2)^3+3 \cdot(x^2)^2 \cdot y^3+3 \cdot x^2 \cdot(y^3)^2 + (y^3)^3=x^6+3x^4y^3+3x^2y^6+y^9$


Cubo da diferença de dois termos

    O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo. Assim, temos:


$ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$




     Uma outra maneira de escrever essa expressão, que costuma ser útil é a seguinte:

$(a-b)^3=a^3-b^3-3ab \cdot(a-b)$

     As expressões acima podem ser obtidas utilizando-se a distributividade da multiplicação em relação à adição. Assim, temos:

$(a-b)^3=(a-b)^2 \cdot(a-b)=(a^2-2ab+b^2) \cdot (a-b)=a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3=$
                                     $= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

     Vamos apresentar alguns exemplos de aplicação desse produto notável.

$(x-2)^3=x^3-3 \cdot x^2 \cdot 2 +3 \cdot x \cdot 2^2 -2^3=x^3-6x^2+12x-8$

$ (2x-1)^3=(2x)^3-3 \cdot (2x)^2 \cdot 1+3 \cdot 2x \cdot 1^2-1^3=8x^3-12x^2+6x-1$

$(3x-2y)^3=(3x)^3-3 \cdot (3x)^2 \cdot 2y+3 \cdot 3x \cdot (2y)^2-(2y)^3=27x^3-54x^2y+36xy^2-8y^3$

$(x^2-y^3)^3=(x^2)^3-3 \cdot(x^2)^2 \cdot y^3+3 \cdot x^2 \cdot(y^3)^2 - (y^3)^3=x^6-3x^4y^3+3x^2y^6-y^9$

terça-feira, 10 de abril de 2018

Livro de Cálculo do Professor Leo Huet Amaral

     Meu primeiro professor de Cálculo no ITA no ano de 1993 foi o Prof. Dr. Leo Huet Amaral (1926-2016), um senhor já de idade avançada e fala mansa, a quem carinhosamente chamávamos de Leozinho. As histórias que ouvíamos davam conta de que era uma Matemático importante e que, inclusive, era citado na Enciclopédia Mirador, o que rapidamente foi confirmado por alguém ("enciclopédia" era algo parecido com a Wikipedia antes de termos internet).
     Suas aulas eram bem peculiares e nosso primeiro curso de Cálculo (MAT 11) foi bem próximo de um curso de Análise Real. Suas provas eram um caso a parte. Ele nos dava uma lista de conceitos que precisávamos saber e teoremas que tínhamos que saber demonstrar, além de dizer o tipo de exercício que ia cobrar. A apresentação dos conceitos e demonstração dos teoremas respondia por 80 a 90% da prova. Certa vez um colega, que não sabia demonstrar um dos teoremas pedidos, demonstrou um outro que sabia, e o Leozinho lhe concedeu os pontos da questão.
     Nossa turma foi a última turma que teve o privilégio de ter suas aulas no ITA. Abaixo as fotos de sua última aula. Ele se despediu das salas de aulas com refrigerante e salgadinhos, dividindo conosco suas histórias e que um "tijolão" de C++ que ele disse que leria em seu tempo livre.


segunda-feira, 9 de abril de 2018

Apostilas de Matemática da Turma IME-ITA do Curso Impacto

Nessa postagem estou disponibilizando em pdf as apostilas de Matemática do Curso Impacto, que eu utilizei em 1992, quando fiz turma IME-ITA. Apesar de antigo é um material de muita qualidade e com bastantes exercícios. Ótimo para pegar uma boa base para todos os concursos militares do 3º ano.






Estou disponibilizando essas apostilas considerando que o Curso Impacto já encerrou suas atividades há mais de 15 anos e que essas apostilas já têm pelo menos 25 anos, mas caso eu esteja desrespeitando o direito autoral de alguém, por favor, entre em contato que eu retiro esse material do ar imediatamente.

Caso você possua outras apostilas de Matemática do Impacto dessa época, por favor envie para madematica@gmail.com, que eu disponibilizo aqui.

Abraço e bom gagá!!!

quinta-feira, 5 de abril de 2018

Professor Lacaz Netto

Provavelmente por ignorância minha, a primeira vez que ouvi falar do Professor Lacaz Netto foi porque ele dá nome ao auditório do ITA. Algum tempo depois, vasculhando "sebos", me deparei com dois livros seus. Nessa postagem vou disponibilizar o pdf desses livros para que mais estudantes possam continuar a ter acesso à sua obra.





Quem quiser saber um pouco mais sobre esse notável professor, pode ler também o artigo abaixo que fala do seu acervo ou acessar o link da AEITA sobre ele.



Abraço e bom gagá!!!

terça-feira, 3 de abril de 2018

Pontos de Álgebra Complementar - Prof. Haroldo Lisbôa da Cunha

    Nessa postagem encontra-se o pdf de um livro de Álgebra de 1939 do Professor Haroldo Lisbôa da Cunha. Resolvi escaneá-lo e disponibilizá-lo aqui porque ele já está se desfazendo. Espero que vocês gostem.

(Clique na imagem)

sábado, 17 de março de 2018

Fatoração 3 - Quadrado da soma e da diferença (Bem explicadinho!)



    Depois de um intervalo maior do que o previsto, vamos retomar as postagens da série "Bem Explicadinho!", agora com frequência quinzenal.
    Nessa postagem vamos dar continuidade ao estudo dos produtos notáveis e fatoração, estudando o quadrado da soma e da diferença. Já foram apresentados os seguintes tópicos sobre fatoração:



 
Quadrado da soma de dois números

    O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrados do primeiro número mais o dobro do produto do primeiro número pelo segundo mais o quadrado do segundo número. Assim, temos:

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

    Essa expressão pode ser obtida multiplicando-se os fatores e observando a distributividade da multiplicação em relação à adição.

$(x+y)^2=(x+y) \cdot (x+y) = (x+y) \cdot x + (x+y) \cdot y=x^2+yx+xy+y^2=x^2+2xy+y^2$

    Vamos ver alguns exemplo de aplicação desse produto notável.

$(x+3)^2=x^2+2 \cdot x \cdot 3 +3^2=x^2+6x+9$

$(2x+1)^2=(2x)^2+2  \cdot (2x) \cdot 1 +1^2=4x^2+4x+1$

$(3x+2y)^2=(3x)^2+2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2=9x^2+12xy+4y^2$

$(x^2+y^3)^2=(x^2)^2+2x^2y^3+(y^3)^2=x^4+2x^2y^3+y^6$


Quadrado da diferença de dois números

    O quadrado da diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro número menos o dobro do produto do primeiro número pelo segundo mais o quadrado do segundo número.

$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$

    Essa expressão pode ser obtida a partir da expressão do quadrado da soma, como segue.

$(x-y)^2=(x+(-y))^2=x^2+2 \cdot x \cdot(-y) + (-y)^2=x^2-2xy+y^2$

    Vamos ver alguns exemplo de aplicação desse produto notável.

$(x-3)^2=x^2-2 \cdot x \cdot 3 +3^2=x^2-6x+9$

$(2x-1)^2=(2x)^2-2  \cdot (2x) \cdot 1 +1^2=4x^2-4x+1$

$(3x-2y)^2=(3x)^2-2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$

$(x^2-y^3)^2=(x^2)^2-2x^2y^3+(y^3)^2=x^4-2x^2y^3+y^6$


terça-feira, 20 de fevereiro de 2018

Fatoração 2 - Diferença de quadrados (Bem explicadinho!)



    Essa é a segunda postagem da série Bem explicadinho! Nós vamos dar sequência ao estudo dos produtos notáveis e fatorações apresentando a diferença de quadrados. Apesar de simples, essa fatoração é muito frequente nos problemas.

Diferença de quadrados

    O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro número menos o quadrado do segundo número.
    Isso é consequência da distributividade da multiplicação em relação à adição, conforme desenvolvimento a seguir.

$(x+y)(x-y)=x \cdot (x-y) +y \cdot  (x-y)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2$

    A expressão também é frequentemente aplicada no sentido contrário para escrever a diferença entre dois quadrados como o produto da soma pela diferença das bases.

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

    Vamos agora apresentar alguns exemplos de aplicação desse produto notável.

$(x+1)(x-1)=x^2-1^2=x^2-1$

$(3ab+8)(3ab-8)=(3ab)^2-8^2=9a^2b^2-64$

$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$

$ 4x^2-9y^2= (2x)^2-(3y)^2=(2x+3y)(2x-3y)$


quinta-feira, 8 de fevereiro de 2018

Fatoração 1 - Evidenciação e agrupamento (Bem explicadinho!)



Essa é a primeira postagem de uma nova série semanal chamada "Bem explicadinho!". Nessas postagens serão apresentados diversos conteúdos com teoria e exercícios de maneira bem detalhada, a fim de permitir ao estudante um bom entendimento sobre o assunto e a capacidade de resolver exercícios mais complexos. Os exercícios apresentados estarão dispostos em grau de dificuldade crescente e terão soluções detalhadas para consulta.

Evidenciação e Agrupamento

    Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la na forma de um produto de fatores de grau menor do que o da expressão original. Assim, o produto $(x+1) \cdot (x+2) $ é uma fatoração de $x^2+3x+2$. 
    Nesse momento, você ainda não precisa se preocupar em como encontrar $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$. O objetivo, por enquanto, é apenas identificar que essas duas expressões são iguais e que a expressão da direita é a fatoração da expressão da esquerda.

    Produtos notáveis são expressões frequentes no desenvolvimento ou fatoração de expressões algébricas, que costumam ser memorizadas.
    Um produto notável comum é a diferença de quadrados, que tem como resultado o produto da soma pela diferença das bases e permite escrever, por exemplo, $x^2-1=(x+1)(x-1)$.

    Vamos agora estudar a primeira técnica de fatoração chamada evidenciação, que consiste em colocar em evidência um fator comum às diversas parcelas de uma soma algébrica. Isso é consequência da distributividade da multiplicação em relação à adição e à subtração. Observe os exemplos a seguir:

$a \cdot b+a \cdot c=a \cdot (b+c)$

$a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b-c)$

$a \cdot b - a \cdot c +a \cdot d = a \cdot (b-c+d)$

sexta-feira, 29 de dezembro de 2017

Feliz 2018!

Essa é a última postagem do ano de 2017. Gostaria de agradecer a todos que acompanharam o blog. O apoio de vocês é que mantém esse projeto vivo.
O número 2017 é um número primo. Isso apareceu na questão 6 da prova de Matemática da 1ª fase do vestibular do Instituto Militar de Engenharia (IME). Veja a seguir a sua resolução:

Se $X$ e $Y$ são número naturais tais que $X^2-Y^2=2017$, o valor de $X^2+Y^2$ é:

a) $2008010$       b) $2012061$     c) $2034145$      d) $2044145$     e) $2052061$

RESOLUÇÃO: c

$X^2-Y^2=2017 \Leftrightarrow (X+Y)(X-Y)=2017$

Como $2017$ é um número primo e $X+Y>X-Y>0$, então

$ \begin{cases} X+Y=2017\\ X-Y=1 \end{cases} \Leftrightarrow X=1009 \quad e \quad Y=1008$

$\Rightarrow X^2+Y^2=1009^2+1008^2= (1000+9)^2+1000+8)^2 = 1000000+18000+81 +1000000+16000+64 = 2034145$

Vamos agora apresentar o número 2018. Esse número é chamado semiprimo, pois é um produto de dois números primos não necessariamente distintos.

$2018 = 2 \cdot 1009$

Observe que $1009$ é um número primo.

A seguir apresentamos uma questão que explora essa propriedade.

Seja a função $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ tal que $f(x)=x^2+x$. Sabendo que $f(a)-f(b)=2018$ e que $a$ e $b$ tem a mesma paridade, o valor de $a$ é:

a) $404$      b) $454$     c) $505$      d) $565$    e) $606$

RESOLUÇÃO: c

$f(a)-f(b)=2018 \Leftrightarrow \left(a^2+a \right) - \left(b^2+b \right)=2 \cdot 1009 \Leftrightarrow \left(a^2-b^2 \right) +(a-b)=2 \cdot1009$

$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)+(a-b)=2\cdot 1009 \Leftrightarrow (a-b)(a+b+1)=2\cdot 1009$

Como $a+b+1>0$ e $a+b+1>a-b$, então $(a-b,a+b+1)\in \left\{ (1,2018); (2,1009) \right\}$.

Mas $a$ e $b$ têm a mesma paridade, então os valores de $a+b$  e $a-b$ são números pares, o que implica $a-b=2$ e $a+b+1=1009$.

$\begin{cases}a+b+1=1009 \\ a-b=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a+b=1008 \\ a-b=2 \end{cases} \Leftrightarrow a=505 \space e \space b=503.$


Abraço e bom gagá!!!

 $Feliz \space \space 2 \cdot 1009 \space !!!$ 





terça-feira, 12 de dezembro de 2017

Prova de Matemática AFA 2017-2018

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Academia da Força Aérea (AFA) de 2017-20187 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.




A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 9 anos de prova.

Na sequência apresentamos uma compilação dos principais materiais para a AFA já apresentados aqui no blog.

Provas de Matemática de 2012 a 2017:


Listas de exercícios por assunto:

Em breve, você poderá adquirir a versão impressa do livro X-MAT: AFA 2009-2018 com 10 anos de provas resolvidas e muito mais, na livraria online clube de autores!

Abraço e bom gagá!!!