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sexta-feira, 29 de dezembro de 2017

Feliz 2018!

Essa é a última postagem do ano de 2017. Gostaria de agradecer a todos que acompanharam o blog. O apoio de vocês é que mantém esse projeto vivo.
O número 2017 é um número primo. Isso apareceu na questão 6 da prova de Matemática da 1ª fase do vestibular do Instituto Militar de Engenharia (IME). Veja a seguir a sua resolução:

Se $X$ e $Y$ são número naturais tais que $X^2-Y^2=2017$, o valor de $X^2+Y^2$ é:

a) $2008010$       b) $2012061$     c) $2034145$      d) $2044145$     e) $2052061$

RESOLUÇÃO: c

$X^2-Y^2=2017 \Leftrightarrow (X+Y)(X-Y)=2017$

Como $2017$ é um número primo e $X+Y>X-Y>0$, então

$ \begin{cases} X+Y=2017\\ X-Y=1 \end{cases} \Leftrightarrow X=1009 \quad e \quad Y=1008$

$\Rightarrow X^2+Y^2=1009^2+1008^2= (1000+9)^2+1000+8)^2 = 1000000+18000+81 +1000000+16000+64 = 2034145$

Vamos agora apresentar o número 2018. Esse número é chamado semiprimo, pois é um produto de dois números primos não necessariamente distintos.

$2018 = 2 \cdot 1009$

Observe que $1009$ é um número primo.

A seguir apresentamos uma questão que explora essa propriedade.

Seja a função $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ tal que $f(x)=x^2+x$. Sabendo que $f(a)-f(b)=2018$ e que $a$ e $b$ tem a mesma paridade, o valor de $a$ é:

a) $404$      b) $454$     c) $505$      d) $565$    e) $606$

RESOLUÇÃO: c

$f(a)-f(b)=2018 \Leftrightarrow \left(a^2+a \right) - \left(b^2+b \right)=2 \cdot 1009 \Leftrightarrow \left(a^2-b^2 \right) +(a-b)=2 \cdot1009$

$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)+(a-b)=2\cdot 1009 \Leftrightarrow (a-b)(a+b+1)=2\cdot 1009$

Como $a+b+1>0$ e $a+b+1>a-b$, então $(a-b,a+b+1)\in \left\{ (1,2018); (2,1009) \right\}$.

Mas $a$ e $b$ têm a mesma paridade, então os valores de $a+b$  e $a-b$ são números pares, o que implica $a-b=2$ e $a+b+1=1009$.

$\begin{cases}a+b+1=1009 \\ a-b=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a+b=1008 \\ a-b=2 \end{cases} \Leftrightarrow a=505 \space e \space b=503.$


Abraço e bom gagá!!!

 $Feliz \space \space 2 \cdot 1009 \space !!!$ 





terça-feira, 12 de dezembro de 2017

Prova de Matemática AFA 2017-2018

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Academia da Força Aérea (AFA) de 2017-20187 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.




A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 9 anos de prova.

Na sequência apresentamos uma compilação dos principais materiais para a AFA já apresentados aqui no blog.

Provas de Matemática de 2012 a 2017:


Listas de exercícios por assunto:

Em breve, você poderá adquirir a versão impressa do livro X-MAT: AFA 2009-2018 com 10 anos de provas resolvidas e muito mais, na livraria online clube de autores!

Abraço e bom gagá!!!

sábado, 9 de dezembro de 2017

Prova de Matemática ITA 2016-2017

Essa é a última postagem antes da prova do ITA na próxima semana. Nessa postagem é apresentada a prova de Matemática do vestibular do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) de 2016-2017, detalhadamente resolvida e classificada por assunto.




A tabela a seguir mostra a incidência de cada assunto nesse período.



Na sequência apresentamos uma compilação dos principais materiais para o ITA já apresentados aqui no blog.

Provas de Matemática de 2010 a 2016:


Provas do ITA de 1976 a 2001, exceto 1981 (material não é de minha autoria) clique aqui

Listas de exercícios por assunto:


Abraço e bom gagá!!!

quinta-feira, 7 de dezembro de 2017

Questões de Funções do ITA de 1971 a 2017

Nessa postagem é apresentada uma lista com todas as questões de funções do vestibular do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), detalhadamente resolvidas, totalizando 97 questões que foram propostas de 1971 a 2017.


Se você está se preparando para o ITA, você encontra aqui no blog diversas outras postagens direcionadas para esse concurso.

Caso você tenha dúvida sobre alguma das resoluções, apresente-a nos comentários desta postagem.

Abraço e bom gagá!!!

sábado, 25 de novembro de 2017

Provas de Matemática do ITA de 2010 a 2016

Nessa postagem encontram-se as provas de Matemática do vestibular do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) de 2010 a 2016, detalhadamente resolvidas e classificadas por assunto.





A tabela a seguir mostra a incidência de cada assunto nesse período.



Se você está se preparando para o ITA, você encontra aqui no blog diversas outras postagens direcionadas para esse concurso.

Caso você tenha dúvida sobre alguma dessas resoluções, apresente-a nos comentários desta postagem.

Abraço e bom gagá!!!

quarta-feira, 22 de novembro de 2017

Questões de números complexos do ITA de 1974 a 2017

Nessa postagem é apresentada uma lista com todas as questões de números complexos do vestibular do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), detalhadamente resolvidas, totalizando 89 questões que foram propostas de 1974 a 2017.


Se você está se preparando para o ITA, você encontra aqui no blog diversas outras postagens direcionadas para esse concurso.

Caso você tenha dúvida sobre alguma das resoluções, apresente-a nos comentários desta postagem.

Abraço e bom gagá!!!

sexta-feira, 27 de outubro de 2017

Prova de Matemática da EsPCEx 2017-2018

Nesta postagem encontra-se a Prova de Matemática da concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) de 2017-2018, detalhadamente resolvida e classificada por assunto.



A seguir encontra-se um quadro resumo da classificação das questões por assunto dos últimos 10 anos de prova.


Já disponível, no site clube de autores, a 3ª edição do livro X-MAT Volume 6 com as provas da EsPCEx de 2009 a 2018 (10 anos) resolvidas e classificadas por assunto, além de listas complementares de exercícios resolvidos de funções, progressões, logaritmos, análise combinatória e probabilidade, trigonometria e geometria espacial.



Abraço e bom gagá!!!

quinta-feira, 19 de outubro de 2017

O teorema de Ptolomeu e a questão 14 da 1ª fase do IME 2018

Teorema de Ptolomeu

Em um quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.

Seja o quadrilátero inscritível ABCD da figura a seguir, então $ p \cdot q = a \cdot c + b \cdot d$.
Demonstração:
Seja $AJ$ uma ceviana isogonal a $AC$, então
$B\hat{A}J=C\hat{A}D$ e $A\hat{B}J=A\hat{C}D$ (ângulos inscritos relativos ao arco AD menor) $\Rightarrow \triangle AJB \sim ADC$
$\Rightarrow \cfrac{BJ}{CD}=\cfrac{AB}{AC}$     (i)
$D\hat{A}J=C\hat{A}B$ e $A\hat{D}J=A\hat{C}B$ (ângulos inscritos relativos ao arco AB menor) $\Rightarrow \triangle AJD \sim ABC$
$\Rightarrow \cfrac{DJ}{BC}=\cfrac{AD}{AC}$     (ii)
De (i) e (ii), vem: $BJ+DJ=\cfrac{AB \cdot CD}{AC} + \cfrac{AD \cdot BC}{AC} \Leftrightarrow AC \cdot BD=AB \cdot CD + AD \cdot BC$


Vamos agora aplicar esse teorema para resolver de forma muito simples a questão 14 da prova de Matemática da 1ª fase do IME de 2018.

Seja um heptágono regular de lado $l$ cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz à qual das expressões?
a) $\cfrac {l \cdot d}{d-l}$
b) $\cfrac{d^2}{d-l}$
c) $\cfrac {l \cdot d}{d+l}$
d) $\cfrac{l^2}{d+l}$
e) $\cfrac{3 \cdot d}{2}$

RESOLUÇÃO: a
Seja  ABCDEFG o heptágono regular descrito no enunciado e seja $x$ a medida da sua maior diagonal. Sabemos que o heptágono regular é inscritível em uma circunferência.

Assim, o quadrilátero ACDE é inscritível e podemos aplicar o teorema de Ptolomeu.
$AD \cdot CE=AC \cdot DE + CD \cdot AE \Leftrightarrow x \cdot d = d \cdot l + l \cdot x \Leftrightarrow x = \cfrac {l \cdot d}{d-l}$.

Note ainda que não é a primeira vez que o teorema de Ptolomeu pode ser utilizado para resolver questões do IME. Já apareceram questões de aplicação desse teorema, pelo menos, nos anos de 2004, 1987 e 1966 e também na prova do ITA de 1995.

Abraço e bom gagá!!!


domingo, 1 de outubro de 2017

Prova de Matemática do Colégio Naval 2017-2018

Nessa postagem encontra-se a resolução da prova de Matemática do concurso de admissão ao Colégio Naval de 2017 - 2018.







A seguir está uma tabela com a incidência de questões por assunto dos últimos 10 anos dessa prova.


Em breve estará disponível, na editora Dissonnarte, a 2ª edição do livro X-MAT Volume 5 com as provas do Colégio Naval de 1994 a 2018 (25 anos) resolvidas e classificadas por assunto, além de tópicos complementares de teoria.

Abraço e bom gagá!!!

terça-feira, 19 de setembro de 2017

Exercícios sobre Teoria dos Números do IME

Nessa postagem encontram-se os exercícios sobre Teoria dos Números que apareceram nos vestibulares do Instituto Militar de Engenharia (IME) nos anos de 1982 a 2017, totalizando 32 questões resolvidas.



Abraço e bom gagá!!!