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quinta-feira, 19 de outubro de 2017

O teorema de Ptolomeu e a questão 14 da 1ª fase do IME 2018

Teorema de Ptolomeu

Em um quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.

Seja o quadrilátero inscritível ABCD da figura a seguir, então $ p \cdot q = a \cdot c + b \cdot d$.
Demonstração:
Seja $AJ$ uma ceviana isogonal a $AC$, então
$B\hat{A}J=C\hat{A}D$ e $A\hat{B}J=A\hat{C}D$ (ângulos inscritos relativos ao arco AD menor) $\Rightarrow \triangle AJB \sim ADC$
$\Rightarrow \cfrac{BJ}{CD}=\cfrac{AB}{AC}$     (i)
$D\hat{A}J=C\hat{A}B$ e $A\hat{D}J=A\hat{C}B$ (ângulos inscritos relativos ao arco AB menor) $\Rightarrow \triangle AJD \sim ABC$
$\Rightarrow \cfrac{DJ}{BC}=\cfrac{AD}{AC}$     (ii)
De (i) e (ii), vem: $BJ+DJ=\cfrac{AB \cdot CD}{AC} + \cfrac{AD \cdot BC}{AC} \Leftrightarrow AC \cdot BD=AB \cdot CD + AD \cdot BC$


Vamos agora aplicar esse teorema para resolver de forma muito simples a questão 14 da prova de Matemática da 1ª fase do IME de 2018.

Seja um heptágono regular de lado $l$ cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz à qual das expressões?
a) $\cfrac {l \cdot d}{d-l}$
b) $\cfrac{d^2}{d-l}$
c) $\cfrac {l \cdot d}{d+l}$
d) $\cfrac{l^2}{d+l}$
e) $\cfrac{3 \cdot d}{2}$

RESOLUÇÃO: a
Seja  ABCDEFG o heptágono regular descrito no enunciado e seja $x$ a medida da sua maior diagonal. Sabemos que o heptágono regular é inscritível em uma circunferência.

Assim, o quadrilátero ACDE é inscritível e podemos aplicar o teorema de Ptolomeu.
$AD \cdot CE=AC \cdot DE + CD \cdot AE \Leftrightarrow x \cdot d = d \cdot l + l \cdot x \Leftrightarrow x = \cfrac {l \cdot d}{d-l}$.

Note ainda que não é a primeira vez que o teorema de Ptolomeu pode ser utilizado para resolver questões do IME. Já apareceram questões de aplicação desse teorema, pelo menos, nos anos de 2004, 1987 e 1966 e também na prova do ITA de 1995.

Abraço e bom gagá!!!


domingo, 1 de outubro de 2017

Prova de Matemática do Colégio Naval 2017-2018

Nessa postagem encontra-se a resolução da prova de Matemática do concurso de admissão ao Colégio Naval de 2017 - 2018.







A seguir está uma tabela com a incidência de questões por assunto dos últimos 10 anos dessa prova.


Em breve estará disponível, na editora Dissonnarte, a 2ª edição do livro X-MAT Volume 5 com as provas do Colégio Naval de 1994 a 2018 (25 anos) resolvidas e classificadas por assunto, além de tópicos complementares de teoria.

Abraço e bom gagá!!!

terça-feira, 19 de setembro de 2017

Exercícios sobre Teoria dos Números do IME

Nessa postagem encontram-se os exercícios sobre Teoria dos Números que apareceram nos vestibulares do Instituto Militar de Engenharia (IME) nos anos de 1982 a 2017, totalizando 32 questões resolvidas.



Abraço e bom gagá!!!


sábado, 16 de setembro de 2017

Exercícios sobre Função - EsPCEx 1994 a 2017

Nessa postagem encontra-se uma seleção das questões sobre função das provas do concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) desde 1994 até 2017.




Está disponível também, no site clubedeautores.com.br, o livro X-MAT Volume 6, com todas as questões da EsPCEx resolvidas de 2009 a 2017 e também com exercícios complementares sobre função, progressões, logaritmos e geometria espacial. No total são 273 questões da EsPCEx resolvidas.

(clique no livro para ir para o site de venda)


Abraço e bom gagá!!!

quinta-feira, 31 de agosto de 2017

Provas do ITA 1976 a 2001 RESOLVIDAS

Hoje em dia, nos sites da maioria dos cursos que fazem gabarito comentado do vestibular do ITA, é possível encontrar as provas desde 2002. Vou colocar aqui algumas provas mais antigas que eu tenho (1976 a 2001, exceto 1981) . Observando, porém, que esse material não é de minha autoria e que eu estou postando aqui, pois eles não estão mais disponíveis nos sites de origem. O autor de cada um desses gabaritos comentados está identificado no nome do arquivo.

ITA 1976 - 1977 - 1978 - MAT - ETAPA

ITA 1979 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1980 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1982 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1983 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1984 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1985 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1986 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1987 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1988 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1989 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1990 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1991 - MAT-FIS-ING - ELITE

ITA 1992 - MAT-FIS - ANGLO

ITA 1993 - COMPLETO - ANGLO

ITA 1994 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1995 - COMPLETO - ANGLO

ITA 1996 - COMPLETO - ANGLO

ITA 1997 - COMPLETO - OBJETIVO

ITA 1998 - COMPLETO - OBJETIVO

ITA 1999 - COMPLETO - OBJETIVO

ITA 2000 - COMPLETO - ETAPA

ITA 2001 - COMPLETO - ANGLO

A seguir está uma lista de sites onde você pode encontrar bons gabaritos comentados das provas mais recentes.

POLIEDRO RESOLVE

ETAPA RESOLVE

ANGLO RESOLVE

OBJETIVO - RESOLUÇÃO COMENTADA

PENSI - RESULTADOS E GABARITOS

ELITE - RESULTADOS

ARI DE SÁ - PROVAS COMENTADAS

ELITE CAMPINAS - GABARITOS E RESOLUÇÕES

FARIAS BRITO - VESTIBULAR COMENTADO

GGE - COBERTURA MÁXIMA

BERNOULLI RESOLVE

OLIMPO RESOLVE

Abraço e bom gagá!!!


quarta-feira, 30 de agosto de 2017

ITA 2002 - Corrida de bicicletas e o teorema de Bézout

A seguinte questão foi proposta na prova de Matemática do vestibular do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) de 2002.

O seguinte trecho de artigo de um jornal relata uma corrida beneficente de bicicletas: " Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e Rubinho, nesta ordem. Daí em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em nenhum momento da corrida, estiveram lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, mudou de mão nove vezes entre os três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posições trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou para nossos repórteres que David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da corrida."
Com base no trecho acima, você conclui que
a) David ganhou a corrida.
b) Ralf ganhou a corrida.
c) Rubinho chegou em terceiro lugar.
d) Ralf chegou em segundo lugar,
e) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta.

Vamos apresentar agora o teorema de Bézout.

Permutação fundamental ou principal:
Sejam $n$ elementos distintos $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ e suas $n!$ permutações simples. A permutação fundamental ou principal é uma dessas permutações adotada como referência. Por exemplo, no casos dos $n$ primeiros números naturais, podemos adotar como permutação fundamental a ordenação original $1$, $2$, ..., $n$.

Inversão:
Dizemos que ocorre uma inversão quando dois elementos estão dispostos em ordem diferente daquela em que estão na permutação fundamental. Assim, considerando a permutação fundamental $1, \space 2,\space 3$, a permutação $3, \space 1, \space 2$ apresenta $2$ inversões, pois o $3$ está antes do $1$ e o $3$ está antes do $2$.
Naturalmente, a permutação fundamental não apresenta inversões.

Classe de uma permutação:
Uma permutação é de classe par se o número de inversões em relação à permutação fundamental é par.
Uma permutação é de classe ímpar se o número de inversões em relação à permutação fundamental é ímpar.
Duas permutações são ditas afins se têm a mesma classe e, caso contrário, são ditas não-afins.

Teorema de Bézout:
Uma permutação muda de classe quando se troca a posição de dois quaisquer de seus elementos.

Uma consequência imediata é que a classe da permutação não se altera após um número par de inversões e muda após um número ímpar de inversões.

RESOLUÇÃO DA QUESTÃO DO ITA:

A classificação inicial era Ralf, David e Rubinho, que vamos adotar como permutação fundamental, que é de classe par.
O enunciado afirma que Rubinho chegou logo após David. Assim, os possíveis resultados finais são Ralf, David e Rubinho ou David, Rubinho e Ralf.
O resultado final Ralf, David e Rubinho é a própria permutação fundamental e, portanto, de classe par.
O resultado final David, Rubinho e Ralf apresenta $2$ inversões em relação à permutação fundamental e, portanto, também é de classe par.
É informado que a 1ª e 2ª posições mudam $9$ vezes, enquanto a 2ª e 3ª posições mudam $8$ vezes.
Assim, houve $9+8=17$ trocas (inversões), o que implica que o resultado final deveria ser uma permutação de classe ímpar.
Mas os dois possíveis resultados finais são permutações de classe par, então não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta.

RESPOSTA: e


Abraço e bom gagá!!!

terça-feira, 22 de agosto de 2017

IME 2017 - Questão 8 - Probabilidade e função

A questão a seguir foi a 8ª questão da prova de Matemática discursiva do concurso de admissão ao Instituto Militar de Engenharia (IME) de 2016/2017. É uma questão interessante, pois envolve análise combinatória, probabilidade e conceitos de função.

Seja $A={1,2,3,4}$.
• Quantas funções de $A$ para $A$ têm exatamente $2$ elementos em seu conjunto imagem?
• Entre as $256$ funções de $A$ para $A$, sorteiam-se as funções $f$ e $g$, podendo haver repetição. Qual a probabilidade da função composta $f \circ g$ ser uma função constante?

RESOLUÇÃO:
Vamos, inicialmente, contar quantas funções de $A$ para $A$ têm exatamente $2$ elementos em seu conjunto imagem.

Devemos escolher $2$ dos $4$ elementos de $A$ para compor a imagem. Isso pode ser feito de $C_{4}^{2}=6$ maneiras.
Para cada escolha dessas, cada um dos $4$ elementos do domínio $A$ terá $2$ opções de imagem, totalizando $2^4=16$ possibilidades. Entretanto, $2$ casos devem ser excluídos, correspondentes aqueles em que todos os elementos do domínio $A$ têm como imagem o mesmo elemento, escolhido dentre as $2$ opções. Assim, para cada escolha de $2$ elementos, há $16-2=14$ possibilidades e o número de funções com $2$ elementos em seu conjunto imagem é $6\cdot14=84$.

Agora, devemos calcular a probabilidade da função composta $f \circ g$ ser uma função constante, onde $f \circ g$ são funções de $A$ para $A$, podendo ser iguais.

Note que $(f\circ g)(x)=f (g(x))$. Assim, devemos estudar a imagem de $f$, considerando como domínio a imagem de $g$.
Vamos separar a nossa análise em 4 casos:

1º) Se a imagem de $g$ possui $1$ elemento ($g$ é constante)
Teremos $4$ possibilidades de funções $g$.
Se $g$ é constante, então $f \circ g$ será constante para qualquer função $f$. Assim, temos $256$ possibilidades de funções $f$.
Logo, o número de pares de funções é $4 \cdot 256 = 1024$.

2º) Se a imagem de $g$ possui $2$ elementos.
Teremos $84$ possibilidades de funções $g$.
Na função $f$, os $2$ elementos da imagem de $g$ devem possuir a mesma imagem. Os dois outros elementos do domínio de $f$ podem ter qualquer imagem. Assim, temos $4 \cdot 1 \cdot 4^2=64$ possibilidades de funções $f$.
Logo, o número de pares de funções é $84 \cdot 64 = 5376$.

3º) Se a imagem de $g$ possui $3$ elementos.
A quantidade de funções $g$ é dada pelo total de funções menos aquelas que tem $4$, $2$ ou $1$ elemento na imagem, ou seja, $256-24-84-4=144$.
Na função $f$, os $3$ elementos da imagem de $g$ devem possuir a mesma imagem. O outro elemento do domínio de $f$ pode ter qualquer imagem. Assim, temos $4 \cdot 1 \cdot1 \cdot 4 =16$ possibilidades de funções $f$.
Logo, o número de pares de funções é $144 \cdot 16 = 2304$

4º) Se a imagem de $g$ possui $4$ elementos.
A quantidade de funções $g$ é  $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4!=24$.
Na função $f$, os $4$ elementos da imagem de $g$ devem possuir a mesma imagem. Assim, temos $4 \cdot 1^3 =4$ possibilidades de funções $f$.
Logo, o número de pares de funções é $24 \cdot 4 = 96$.

Portanto, o total de pares de funções nos quatro casos(número de casos favoráveis) é $1024+5376+2304+96=8800$.
O número de elementos do espaço amostral $\Omega$ é o total de pares de funções, ou seja, $\#(\Omega)=256^2$.

Logo, a probabilidade pedida é $P=\cfrac{8800}{256^2}=\cfrac{275}{2048}$.


Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.




Abraço e bom gagá!!!





quarta-feira, 9 de agosto de 2017

IME 2011 - QUESTÃO 10 - Um determinante interessante

A questão a seguir foi a 10ª da prova de Matemática discursiva do concurso de admissão ao Instituto Militar de Engenharia (IME) de 2010-2011.

Mostre que o determinante abaixo apresenta valor menor ou igual a 16 para todos os valores de $a$, $b$ e $c$, pertencentes ao conjunto dos números reais, que satisfazem a equação $a^2+b^2+c^2=4$.

$\left| \begin{matrix} a+b & b+c & c+a \\ c+a & a+b & b+c \\b+c & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

RESOLUÇÃO:
No determinante $\Delta = \left| \begin{matrix} a+b & b+c & c+a \\ c+a & a+b & b+c \\b+c & c+a & a+b \end{matrix} \right|$, vamos somar as 2ª e 3ª colunas à 1ª coluna.


 $\Delta = \left| \begin{matrix} 2\cdot(a+b+c) & b+c & c+a \\ 2\cdot(a+b+c) & a+b & b+c \\2 \cdot(a+b+c) & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

Agora, vamos colocar $2\cdot(a+b+c)$ em evidência na 1ª coluna.

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot \left| \begin{matrix} 1 & b+c & c+a \\ 1 & a+b & b+c \\1 & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

Vamos subtrair a 2ª linha da 3ª linha e, depois, a 1ª linha da 2ª linha.

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot \left| \begin{matrix} 1 & b+c & c+a \\ 0 & a-c & b-a \\0 & c-b & a-c \end{matrix} \right|$

Aplicando o teorema de Laplace com base na 1ª coluna, temos:

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot 1 \cdot (-1)^{1+1} \left| \begin{matrix}  a-c & b-a \\ c-b & a-c \end{matrix} \right| = 2 \cdot (a+b+c) \cdot \left[ (a-c)^2 - (b-a)(c-b) \right] $

$ \quad= 2 \cdot (a+b+c) \cdot (a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab)$

Fazendo $a+b+c=x$, temos:
 $x^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=4+2(ab+ac+bc) \Leftrightarrow ab+ac+bc=\cfrac{x^2-4}{2}$

Assim, o determinante será dado por: $\Delta = 2 \cdot x \cdot \left( 4-\left( \cfrac{x^2-4}{2} \right) \right) = -x^3+12x $

Seja $ P(x) = -x^3+12x$, então a sua primeira derivada é $ P'(x) =-3x^2+12$, que se anula para $x=\pm2$, e a sua segunda derivada é $P"(x) = -6x$. Como $ P"(-2) = 12 > 0$, então $P(-2)=-16$  é um ponto de mínimo local e, como $ P"(2) = -12 < 0$, então $P(2)=16$ é um ponto de máximo local.

Observe que, se $x$ pudesse variar em todo o conjunto dos reais, a imagem de $P(x)$ seria $]-\infty,+\infty[$ e o ponto $P(2)=16$ não seria um máximo absoluto.

Entretanto, $x=a+b+c$, com $a^2+b^2+c^2=4$ e $a$, $b$ e $c$ reais, o que limita os valores de $x$. Vamos estudar, então, em que intervalo $x$ pode variar. Para isso vamos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz com os vetores $u=(1,1,1)$ e $v=(a,b,c)$. Assim, temos:

$|u\cdot v|\le|u||v| \Rightarrow |1\cdot a +1\cdot b + 1\cdot c|\le \sqrt{1^2+1^2+1^2} \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3} \sqrt{4}=2\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow |x|=|a+b+c| \le 2 \sqrt{3} \Leftrightarrow -2\sqrt{3} \le x \le 2\sqrt{3}$

Portanto, o domínio de $x$ é $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$. Como $P(-2\sqrt{3})=P(2\sqrt{3})=0<16$, então $P(2)=16$ é um máximo absoluto, e podemos afirmar que o determinante é menor ou igual a $16$.


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sábado, 29 de julho de 2017

Prova de Matemática da EPCAr 2017

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAr) de 2016-2017 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.




A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 8 anos de prova.




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Prova de Matemática da EsPCEx 2017

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) de 2016-2017 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.


A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 7 anos de prova.



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