Marcadores

terça-feira, 12 de dezembro de 2017

Prova de Matemática AFA 2017-2018

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Academia da Força Aérea (AFA) de 2017-20187 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.




A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 9 anos de prova.

Na sequência apresentamos uma compilação dos principais materiais para a AFA já apresentados aqui no blog.

Provas de Matemática de 2012 a 2017:


Listas de exercícios por assunto:

Em breve, você poderá adquirir a versão impressa do livro X-MAT: AFA 2009-2018 com 10 anos de provas resolvidas e muito mais, na livraria online clube de autores!

Abraço e bom gagá!!!

sábado, 9 de dezembro de 2017

Prova de Matemática ITA 2016-2017

Essa é a última postagem antes da prova do ITA na próxima semana. Nessa postagem é apresentada a prova de Matemática do vestibular do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) de 2016-2017, detalhadamente resolvida e classificada por assunto.




A tabela a seguir mostra a incidência de cada assunto nesse período.



Na sequência apresentamos uma compilação dos principais materiais para o ITA já apresentados aqui no blog.

Provas de Matemática de 2010 a 2016:


Provas do ITA de 1976 a 2001, exceto 1981 (material não é de minha autoria) clique aqui

Listas de exercícios por assunto:


Abraço e bom gagá!!!

quinta-feira, 7 de dezembro de 2017

Questões de Funções do ITA de 1971 a 2017

Nessa postagem é apresentada uma lista com todas as questões de funções do vestibular do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), detalhadamente resolvidas, totalizando 97 questões que foram propostas de 1971 a 2017.


Se você está se preparando para o ITA, você encontra aqui no blog diversas outras postagens direcionadas para esse concurso.

Caso você tenha dúvida sobre alguma das resoluções, apresente-a nos comentários desta postagem.

Abraço e bom gagá!!!

sábado, 25 de novembro de 2017

Provas de Matemática do ITA de 2010 a 2016

Nessa postagem encontram-se as provas de Matemática do vestibular do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) de 2010 a 2016, detalhadamente resolvidas e classificadas por assunto.





A tabela a seguir mostra a incidência de cada assunto nesse período.



Se você está se preparando para o ITA, você encontra aqui no blog diversas outras postagens direcionadas para esse concurso.

Caso você tenha dúvida sobre alguma dessas resoluções, apresente-a nos comentários desta postagem.

Abraço e bom gagá!!!

quarta-feira, 22 de novembro de 2017

Questões de números complexos do ITA de 1974 a 2017

Nessa postagem é apresentada uma lista com todas as questões de números complexos do vestibular do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), detalhadamente resolvidas, totalizando 89 questões que foram propostas de 1974 a 2017.


Se você está se preparando para o ITA, você encontra aqui no blog diversas outras postagens direcionadas para esse concurso.

Caso você tenha dúvida sobre alguma das resoluções, apresente-a nos comentários desta postagem.

Abraço e bom gagá!!!

sexta-feira, 27 de outubro de 2017

Prova de Matemática da EsPCEx 2017-2018

Nesta postagem encontra-se a Prova de Matemática da concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) de 2017-2018, detalhadamente resolvida e classificada por assunto.



A seguir encontra-se um quadro resumo da classificação das questões por assunto dos últimos 10 anos de prova.


Já disponível, no site clube de autores, a 3ª edição do livro X-MAT Volume 6 com as provas da EsPCEx de 2009 a 2018 (10 anos) resolvidas e classificadas por assunto, além de listas complementares de exercícios resolvidos de funções, progressões, logaritmos, análise combinatória e probabilidade, trigonometria e geometria espacial.



Abraço e bom gagá!!!

quinta-feira, 19 de outubro de 2017

O teorema de Ptolomeu e a questão 14 da 1ª fase do IME 2018

Teorema de Ptolomeu

Em um quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.

Seja o quadrilátero inscritível ABCD da figura a seguir, então $ p \cdot q = a \cdot c + b \cdot d$.
Demonstração:
Seja $AJ$ uma ceviana isogonal a $AC$, então
$B\hat{A}J=C\hat{A}D$ e $A\hat{B}J=A\hat{C}D$ (ângulos inscritos relativos ao arco AD menor) $\Rightarrow \triangle AJB \sim ADC$
$\Rightarrow \cfrac{BJ}{CD}=\cfrac{AB}{AC}$     (i)
$D\hat{A}J=C\hat{A}B$ e $A\hat{D}J=A\hat{C}B$ (ângulos inscritos relativos ao arco AB menor) $\Rightarrow \triangle AJD \sim ABC$
$\Rightarrow \cfrac{DJ}{BC}=\cfrac{AD}{AC}$     (ii)
De (i) e (ii), vem: $BJ+DJ=\cfrac{AB \cdot CD}{AC} + \cfrac{AD \cdot BC}{AC} \Leftrightarrow AC \cdot BD=AB \cdot CD + AD \cdot BC$


Vamos agora aplicar esse teorema para resolver de forma muito simples a questão 14 da prova de Matemática da 1ª fase do IME de 2018.

Seja um heptágono regular de lado $l$ cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz à qual das expressões?
a) $\cfrac {l \cdot d}{d-l}$
b) $\cfrac{d^2}{d-l}$
c) $\cfrac {l \cdot d}{d+l}$
d) $\cfrac{l^2}{d+l}$
e) $\cfrac{3 \cdot d}{2}$

RESOLUÇÃO: a
Seja  ABCDEFG o heptágono regular descrito no enunciado e seja $x$ a medida da sua maior diagonal. Sabemos que o heptágono regular é inscritível em uma circunferência.

Assim, o quadrilátero ACDE é inscritível e podemos aplicar o teorema de Ptolomeu.
$AD \cdot CE=AC \cdot DE + CD \cdot AE \Leftrightarrow x \cdot d = d \cdot l + l \cdot x \Leftrightarrow x = \cfrac {l \cdot d}{d-l}$.

Note ainda que não é a primeira vez que o teorema de Ptolomeu pode ser utilizado para resolver questões do IME. Já apareceram questões de aplicação desse teorema, pelo menos, nos anos de 2004, 1987 e 1966 e também na prova do ITA de 1995.

Abraço e bom gagá!!!


domingo, 1 de outubro de 2017

Prova de Matemática do Colégio Naval 2017-2018

Nessa postagem encontra-se a resolução da prova de Matemática do concurso de admissão ao Colégio Naval de 2017 - 2018.







A seguir está uma tabela com a incidência de questões por assunto dos últimos 10 anos dessa prova.


Em breve estará disponível, na editora Dissonnarte, a 2ª edição do livro X-MAT Volume 5 com as provas do Colégio Naval de 1994 a 2018 (25 anos) resolvidas e classificadas por assunto, além de tópicos complementares de teoria.

Abraço e bom gagá!!!

terça-feira, 19 de setembro de 2017

Exercícios sobre Teoria dos Números do IME

Nessa postagem encontram-se os exercícios sobre Teoria dos Números que apareceram nos vestibulares do Instituto Militar de Engenharia (IME) nos anos de 1982 a 2017, totalizando 32 questões resolvidas.



Abraço e bom gagá!!!


sábado, 16 de setembro de 2017

Exercícios sobre Função - EsPCEx 1994 a 2017

Nessa postagem encontra-se uma seleção das questões sobre função das provas do concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) desde 1994 até 2017.




Está disponível também, no site clubedeautores.com.br, o livro X-MAT Volume 6, com todas as questões da EsPCEx resolvidas de 2009 a 2017 e também com exercícios complementares sobre função, progressões, logaritmos e geometria espacial. No total são 273 questões da EsPCEx resolvidas.

(clique no livro para ir para o site de venda)


Abraço e bom gagá!!!

quinta-feira, 31 de agosto de 2017

Provas do ITA 1976 a 2001 RESOLVIDAS

Hoje em dia, nos sites da maioria dos cursos que fazem gabarito comentado do vestibular do ITA, é possível encontrar as provas desde 2002. Vou colocar aqui algumas provas mais antigas que eu tenho (1976 a 2001, exceto 1981) . Observando, porém, que esse material não é de minha autoria e que eu estou postando aqui, pois eles não estão mais disponíveis nos sites de origem. O autor de cada um desses gabaritos comentados está identificado no nome do arquivo.

ITA 1976 - 1977 - 1978 - MAT - ETAPA

ITA 1979 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1980 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1982 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1983 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1984 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1985 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1986 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1987 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1988 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1989 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1990 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1991 - MAT-FIS-ING - ELITE

ITA 1992 - MAT-FIS - ANGLO

ITA 1993 - COMPLETO - ANGLO

ITA 1994 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1995 - COMPLETO - ANGLO

ITA 1996 - COMPLETO - ANGLO

ITA 1997 - COMPLETO - OBJETIVO

ITA 1998 - COMPLETO - OBJETIVO

ITA 1999 - COMPLETO - OBJETIVO

ITA 2000 - COMPLETO - ETAPA

ITA 2001 - COMPLETO - ANGLO

A seguir está uma lista de sites onde você pode encontrar bons gabaritos comentados das provas mais recentes.

POLIEDRO RESOLVE

ETAPA RESOLVE

ANGLO RESOLVE

OBJETIVO - RESOLUÇÃO COMENTADA

PENSI - RESULTADOS E GABARITOS

ELITE - RESULTADOS

ARI DE SÁ - PROVAS COMENTADAS

ELITE CAMPINAS - GABARITOS E RESOLUÇÕES

FARIAS BRITO - VESTIBULAR COMENTADO

GGE - COBERTURA MÁXIMA

BERNOULLI RESOLVE

OLIMPO RESOLVE

Abraço e bom gagá!!!


quarta-feira, 30 de agosto de 2017

ITA 2002 - Corrida de bicicletas e o teorema de Bézout

A seguinte questão foi proposta na prova de Matemática do vestibular do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) de 2002.

O seguinte trecho de artigo de um jornal relata uma corrida beneficente de bicicletas: " Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e Rubinho, nesta ordem. Daí em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em nenhum momento da corrida, estiveram lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, mudou de mão nove vezes entre os três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posições trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou para nossos repórteres que David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da corrida."
Com base no trecho acima, você conclui que
a) David ganhou a corrida.
b) Ralf ganhou a corrida.
c) Rubinho chegou em terceiro lugar.
d) Ralf chegou em segundo lugar,
e) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta.

Vamos apresentar agora o teorema de Bézout.

Permutação fundamental ou principal:
Sejam $n$ elementos distintos $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ e suas $n!$ permutações simples. A permutação fundamental ou principal é uma dessas permutações adotada como referência. Por exemplo, no casos dos $n$ primeiros números naturais, podemos adotar como permutação fundamental a ordenação original $1$, $2$, ..., $n$.

Inversão:
Dizemos que ocorre uma inversão quando dois elementos estão dispostos em ordem diferente daquela em que estão na permutação fundamental. Assim, considerando a permutação fundamental $1, \space 2,\space 3$, a permutação $3, \space 1, \space 2$ apresenta $2$ inversões, pois o $3$ está antes do $1$ e o $3$ está antes do $2$.
Naturalmente, a permutação fundamental não apresenta inversões.

Classe de uma permutação:
Uma permutação é de classe par se o número de inversões em relação à permutação fundamental é par.
Uma permutação é de classe ímpar se o número de inversões em relação à permutação fundamental é ímpar.
Duas permutações são ditas afins se têm a mesma classe e, caso contrário, são ditas não-afins.

Teorema de Bézout:
Uma permutação muda de classe quando se troca a posição de dois quaisquer de seus elementos.

Uma consequência imediata é que a classe da permutação não se altera após um número par de inversões e muda após um número ímpar de inversões.

RESOLUÇÃO DA QUESTÃO DO ITA:

A classificação inicial era Ralf, David e Rubinho, que vamos adotar como permutação fundamental, que é de classe par.
O enunciado afirma que Rubinho chegou logo após David. Assim, os possíveis resultados finais são Ralf, David e Rubinho ou David, Rubinho e Ralf.
O resultado final Ralf, David e Rubinho é a própria permutação fundamental e, portanto, de classe par.
O resultado final David, Rubinho e Ralf apresenta $2$ inversões em relação à permutação fundamental e, portanto, também é de classe par.
É informado que a 1ª e 2ª posições mudam $9$ vezes, enquanto a 2ª e 3ª posições mudam $8$ vezes.
Assim, houve $9+8=17$ trocas (inversões), o que implica que o resultado final deveria ser uma permutação de classe ímpar.
Mas os dois possíveis resultados finais são permutações de classe par, então não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta.

RESPOSTA: e


Abraço e bom gagá!!!

terça-feira, 22 de agosto de 2017

IME 2017 - Questão 8 - Probabilidade e função

A questão a seguir foi a 8ª questão da prova de Matemática discursiva do concurso de admissão ao Instituto Militar de Engenharia (IME) de 2016/2017. É uma questão interessante, pois envolve análise combinatória, probabilidade e conceitos de função.

Seja $A={1,2,3,4}$.
• Quantas funções de $A$ para $A$ têm exatamente $2$ elementos em seu conjunto imagem?
• Entre as $256$ funções de $A$ para $A$, sorteiam-se as funções $f$ e $g$, podendo haver repetição. Qual a probabilidade da função composta $f \circ g$ ser uma função constante?

RESOLUÇÃO:
Vamos, inicialmente, contar quantas funções de $A$ para $A$ têm exatamente $2$ elementos em seu conjunto imagem.

Devemos escolher $2$ dos $4$ elementos de $A$ para compor a imagem. Isso pode ser feito de $C_{4}^{2}=6$ maneiras.
Para cada escolha dessas, cada um dos $4$ elementos do domínio $A$ terá $2$ opções de imagem, totalizando $2^4=16$ possibilidades. Entretanto, $2$ casos devem ser excluídos, correspondentes aqueles em que todos os elementos do domínio $A$ têm como imagem o mesmo elemento, escolhido dentre as $2$ opções. Assim, para cada escolha de $2$ elementos, há $16-2=14$ possibilidades e o número de funções com $2$ elementos em seu conjunto imagem é $6\cdot14=84$.

Agora, devemos calcular a probabilidade da função composta $f \circ g$ ser uma função constante, onde $f \circ g$ são funções de $A$ para $A$, podendo ser iguais.

Note que $(f\circ g)(x)=f (g(x))$. Assim, devemos estudar a imagem de $f$, considerando como domínio a imagem de $g$.
Vamos separar a nossa análise em 4 casos:

1º) Se a imagem de $g$ possui $1$ elemento ($g$ é constante)
Teremos $4$ possibilidades de funções $g$.
Se $g$ é constante, então $f \circ g$ será constante para qualquer função $f$. Assim, temos $256$ possibilidades de funções $f$.
Logo, o número de pares de funções é $4 \cdot 256 = 1024$.

2º) Se a imagem de $g$ possui $2$ elementos.
Teremos $84$ possibilidades de funções $g$.
Na função $f$, os $2$ elementos da imagem de $g$ devem possuir a mesma imagem. Os dois outros elementos do domínio de $f$ podem ter qualquer imagem. Assim, temos $4 \cdot 1 \cdot 4^2=64$ possibilidades de funções $f$.
Logo, o número de pares de funções é $84 \cdot 64 = 5376$.

3º) Se a imagem de $g$ possui $3$ elementos.
A quantidade de funções $g$ é dada pelo total de funções menos aquelas que tem $4$, $2$ ou $1$ elemento na imagem, ou seja, $256-24-84-4=144$.
Na função $f$, os $3$ elementos da imagem de $g$ devem possuir a mesma imagem. O outro elemento do domínio de $f$ pode ter qualquer imagem. Assim, temos $4 \cdot 1 \cdot1 \cdot 4 =16$ possibilidades de funções $f$.
Logo, o número de pares de funções é $144 \cdot 16 = 2304$

4º) Se a imagem de $g$ possui $4$ elementos.
A quantidade de funções $g$ é  $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4!=24$.
Na função $f$, os $4$ elementos da imagem de $g$ devem possuir a mesma imagem. Assim, temos $4 \cdot 1^3 =4$ possibilidades de funções $f$.
Logo, o número de pares de funções é $24 \cdot 4 = 96$.

Portanto, o total de pares de funções nos quatro casos(número de casos favoráveis) é $1024+5376+2304+96=8800$.
O número de elementos do espaço amostral $\Omega$ é o total de pares de funções, ou seja, $\#(\Omega)=256^2$.

Logo, a probabilidade pedida é $P=\cfrac{8800}{256^2}=\cfrac{275}{2048}$.


Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.




Abraço e bom gagá!!!





quarta-feira, 9 de agosto de 2017

IME 2011 - QUESTÃO 10 - Um determinante interessante

A questão a seguir foi a 10ª da prova de Matemática discursiva do concurso de admissão ao Instituto Militar de Engenharia (IME) de 2010-2011.

Mostre que o determinante abaixo apresenta valor menor ou igual a 16 para todos os valores de $a$, $b$ e $c$, pertencentes ao conjunto dos números reais, que satisfazem a equação $a^2+b^2+c^2=4$.

$\left| \begin{matrix} a+b & b+c & c+a \\ c+a & a+b & b+c \\b+c & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

RESOLUÇÃO:
No determinante $\Delta = \left| \begin{matrix} a+b & b+c & c+a \\ c+a & a+b & b+c \\b+c & c+a & a+b \end{matrix} \right|$, vamos somar as 2ª e 3ª colunas à 1ª coluna.


 $\Delta = \left| \begin{matrix} 2\cdot(a+b+c) & b+c & c+a \\ 2\cdot(a+b+c) & a+b & b+c \\2 \cdot(a+b+c) & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

Agora, vamos colocar $2\cdot(a+b+c)$ em evidência na 1ª coluna.

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot \left| \begin{matrix} 1 & b+c & c+a \\ 1 & a+b & b+c \\1 & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

Vamos subtrair a 2ª linha da 3ª linha e, depois, a 1ª linha da 2ª linha.

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot \left| \begin{matrix} 1 & b+c & c+a \\ 0 & a-c & b-a \\0 & c-b & a-c \end{matrix} \right|$

Aplicando o teorema de Laplace com base na 1ª coluna, temos:

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot 1 \cdot (-1)^{1+1} \left| \begin{matrix}  a-c & b-a \\ c-b & a-c \end{matrix} \right| = 2 \cdot (a+b+c) \cdot \left[ (a-c)^2 - (b-a)(c-b) \right] $

$ \quad= 2 \cdot (a+b+c) \cdot (a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab)$

Fazendo $a+b+c=x$, temos:
 $x^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=4+2(ab+ac+bc) \Leftrightarrow ab+ac+bc=\cfrac{x^2-4}{2}$

Assim, o determinante será dado por: $\Delta = 2 \cdot x \cdot \left( 4-\left( \cfrac{x^2-4}{2} \right) \right) = -x^3+12x $

Seja $ P(x) = -x^3+12x$, então a sua primeira derivada é $ P'(x) =-3x^2+12$, que se anula para $x=\pm2$, e a sua segunda derivada é $P"(x) = -6x$. Como $ P"(-2) = 12 > 0$, então $P(-2)=-16$  é um ponto de mínimo local e, como $ P"(2) = -12 < 0$, então $P(2)=16$ é um ponto de máximo local.

Observe que, se $x$ pudesse variar em todo o conjunto dos reais, a imagem de $P(x)$ seria $]-\infty,+\infty[$ e o ponto $P(2)=16$ não seria um máximo absoluto.

Entretanto, $x=a+b+c$, com $a^2+b^2+c^2=4$ e $a$, $b$ e $c$ reais, o que limita os valores de $x$. Vamos estudar, então, em que intervalo $x$ pode variar. Para isso vamos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz com os vetores $u=(1,1,1)$ e $v=(a,b,c)$. Assim, temos:

$|u\cdot v|\le|u||v| \Rightarrow |1\cdot a +1\cdot b + 1\cdot c|\le \sqrt{1^2+1^2+1^2} \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3} \sqrt{4}=2\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow |x|=|a+b+c| \le 2 \sqrt{3} \Leftrightarrow -2\sqrt{3} \le x \le 2\sqrt{3}$

Portanto, o domínio de $x$ é $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$. Como $P(-2\sqrt{3})=P(2\sqrt{3})=0<16$, então $P(2)=16$ é um máximo absoluto, e podemos afirmar que o determinante é menor ou igual a $16$.


Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.




Abraço e bom gagá!!!

sábado, 29 de julho de 2017

Prova de Matemática da EPCAr 2017

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAr) de 2016-2017 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.




A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 8 anos de prova.



Abraço e bom gagá!!!

Prova de Matemática da EsPCEx 2017

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) de 2016-2017 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.


A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 7 anos de prova.



Abraço e bom gagá!!!




quinta-feira, 27 de julho de 2017

Prova de Matemática da EFOMM 2017

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) de 2016-2017 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.



A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 9 anos de prova.



Abraço e bom gagá!!!

terça-feira, 25 de julho de 2017

Questão de probabilidade da prova de Matemática da EFOMM-2017

Seis alunos da EFOMM – três paranaenses, dois cariocas e um alagoano – são colocados em uma fila aleatoriamente. Qual é a probabilidade, então, de que nenhum conterrâneo fique ao lado do outro?
a) $\cfrac{3}{31}$
b) $\cfrac{1}{36}$
c) $\cfrac{1}{24}$
d) $\cfrac{1}{12}$
e) $\cfrac{1}{6}$

RESOLUÇÃO: e

O número de casos do espaço amostral $\Omega$ é a permutação dos $6$ alunos. Assim, temos:

$\#\Omega = 6!=720$.

Para que não haja conterrâneos lado a lado, temos os seguintes casos possíveis.

1º) Os paranaenses estão nas posições 1,3,5 ou 2,4,6. Nesses casos, não há como os cariocas ficarem
lado a lado, então basta permutar os outros 3 alunos. Assim, o número de casos aqui é $2\cdot3!\cdot3!=72$.

2º) Se os paranaenses estão na posição 1,3,6 ou 1, 4,6, um dos cariocas tem que ficar, necessariamente, entre os dois paranaenses mais próximos. Logo, o número de casos é $ 2\cdot3!\cdot2\cdot2=48$.  (dois casos, vezes a permutação dos paranaenses entre si, escolha de um dos dois cariocas para ficar separado e permutação do carioca e do alagoano).

Portanto, o número de casos favoráveis é $\#A= 72+ 48=120$.

Portanto, a probabilidade pedida é $ P(A)=\cfrac{\#(A)}{\#(\Omega)}=\cfrac{120}{720}=\cfrac{1}{6}$.

Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.




Abraço e bom gagá!!!


quarta-feira, 19 de julho de 2017

Questão de operações com mercadorias da prova de Matemática da EPCAr-2018

Uma empresa de artigos de perfumaria oferece a seguinte modalidade na negociação de seus  produtos: “Qualquer pessoa que se cadastre como vendedor tem autonomia para estabelecer o preço de venda e recebe uma comissão sobre o lucro que conseguir.”
No mês de fevereiro, um vendedor recebeu uma caixa com vários frascos iguais de um perfume que era lançamento para o Dia das Mães, e teve duas semanas de prazo para efetuar as vendas e esgotar o estoque que estava sob sua responsabilidade.
Ao final da 1ª semana, verificou que restava apenas $\cfrac{1}{4}$ do estoque que recebera, sendo que, assim, ele já havia apurado $\cfrac{39}{40}$ do custo da caixa inteira de perfumes.
Na semana seguinte ele vendeu o restante dos frascos conservando o mesmo preço de venda.
Sabe-se que o vendedor recebe uma comissão de $ 45\%$  sobre o lucro que obtiver.
Neste caso, a cada $ R\$ 100,00$ que esse vendedor receber com suas vendas lhe dará direito a uma comissão cujo valor, em reais, está entre
a) $8$ e $10$ 
b) $10$ e $12$ 
c) $12$  e $14$
d) $14$ e $16$

RESOLUÇÃO: b

BIZU: O lucro em uma operação é a diferença entre a receita e o custo.

Como o preço de venda é o mesmo na primeira e na segunda semanas, e chamando de $V$ a receita total de vendas nas duas semanas, então na primeira semana a receita foi $ \cfrac{3}{4}V$ e na segunda semana foi $\cfrac{1}{4}V$.
Seja $C$ o custo total da caixa de perfumes, então a receita de vendas na primeira semana, $ \cfrac{3}{4}V$, foi igual a $\cfrac{39}{40}C$. Assim, temos:

$ \cfrac{3}{4}V=\cfrac{39}{40}C \Leftrightarrow C=\cfrac{10}{13}V$

O lucro $L$ nas duas semanas é dado por $L=V-C=V- \cfrac{10}{13}V=\cfrac{3}{13}V$.
A comissão do vendedor é $45\%$ do lucro, então temos:

$comissão= 45\% \cdot L = \cfrac{45}{100} \cdot \cfrac{3}{13}V=\cfrac{135}{1300}V$.

Portanto, a uma venda $V$, corresponde uma comissão de $\cfrac{135}{1300}V$. Assim, a cada $ R\$ 100,00$ de vendas, a comissão será de

 $comissão=\cfrac{135}{1300}\cdot 100= \cfrac{135}{13}\approx10,4$,

que está entre $10$ e $12$ (alternativa b).

Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.




Observação: O enunciado sofreu uma pequena adaptação para dar mais clareza e precisão.


Abraço e bom gagá!!!



terça-feira, 18 de julho de 2017

Questão de equações da prova de Matemática da EPCAr-2018

Considere a equação (I) na incógnita $x$ e a equação (II) na incógnita $y$, a seguir:

(I)  $ \cfrac{x}{m-n}-\cfrac{5m}{m+n}=\cfrac{2nx}{m^2-n^2}$, com $m^2 \neq n^2$.

(II)  $ 2y^2+xy+8=0$

O valor de $x$ da equação (I) é substituído na equação (II). Se a equação (II), após esta substituição, possui conjunto solução distinto do conjunto vazio nos números reais, então o conjunto mais amplo dos valores de $m$ que atendem esta condição é

a) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space m \le - \cfrac{8}{5}\space ou\space m \ge \cfrac {8}{5} \right\} $
b) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | - \cfrac{8}{5} \le m  \le \cfrac {8}{5} \right\} $
c) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space  m  \ge \cfrac {8}{5} \right\} $
d) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space  m  = \pm \cfrac {8}{5} \right\} $

RESOLUÇÃO: a

BIZU: Seja uma equação do 2º grau da forma $ax^2+bx+c=0$, com $a \ne 0$. O seu discriminante é dado por $ \Delta = b^2-4\cdot a \cdot c$. Assim, temos:

Se $\Delta < 0$, então a equação não possui raízes reais.
Se $ \Delta = 0$, então a equação possui uma raiz real dupla.
Se $ \Delta >0$, então a equação possui duas raízes reais distintas.

Vamos resolver a equação (I).

Observemos, inicialmente, que $m^2 \neq n^2 \Leftrightarrow m \ne \pm n$.

O mmc dos denominadores é $(m+n)(m-n)$. Reduzindo as frações ao mesmo denominador, vem:

$ \cfrac{x}{m-n}-\cfrac{5m}{m+n}=\cfrac{2nx}{m^2-n^2}$ $ \Leftrightarrow x \cdot (m+n) -5m \cdot (m-n)= 2nx \cdot 1$

$ \Leftrightarrow xm+xn-5m^2+5mn=2nx$ $ \Leftrightarrow xm-xn=5m^2-5mn$

$ \Leftrightarrow x \cdot (m-n)=5m \cdot (m-n) \Leftrightarrow x=5m$


Substituindo $x=5m$ na equação (II), temos: $ 2y^2+5my+8=0$.

Para que essa equação tenha conjunto solução não vazio nos reais, seu discriminante deve ser não-negativo. Assim, temos:

$ \Delta = (5m)^2-4\cdot2\cdot8=25m^2-64 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - \cfrac{8}{5}\space ou\space m \ge \cfrac {8}{5}$

que aparece na alternativa a).


Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.





Abraço e bom gagá!!!


segunda-feira, 17 de julho de 2017

Questão de análise combinatória da prova de Matemática da EFOMM-2017

Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?
a) 24
b) 120
c) 480
d) 1920
e) 3840

RESOLUÇÃO: c

A palavra caravelas tem 5 consoantes e 4 vogais, sendo 1 letra “E” e 3 letras “A”.

Para que não haja duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas, o anagrama deve ser da forma:

consoante – vogal – consoante – vogal – consoante – vogal – consoante – vogal – consoante.

Dessa forma, as posições de vogais e consoantes no anagrama estão bem definidas. Basta, agora, permutar as 5 consoantes distintas entre si e as 4 vogais entre si, lembrando que, por serem 1 letra “E” e 3 letras “A”, é necessário utilizar permutação com elementos repetidos.


Portanto, a quantidade de anagramas que satisfazem as condições do enunciado é

$P_5 \cdot P_4^{1,3}=5! \cdot \cfrac{4!}{1! \cdot 3!}=120 \cdot 4=480.$


Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.





















k

Abraço e bom gagá!!!

sexta-feira, 14 de julho de 2017

Questão de determinantes da prova de Matemática da EFOMM de 2017

Calcule o determinante da matriz $A$ de ordem $n$:

$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 5 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 1 & 1 & 7 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 9 &  \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 2n-1   \end{matrix} \right] $

a) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2i } $
b) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n }{ 2i-1 } $
c) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2^i } $
d) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n }{ 2^{i-1} } $
e) $\displaystyle det\left( A \right) = 1 $


RESOLUÇÃO: a


BIZU: REGRA DE CHIÓ

A Regra de Chió permite reduzir a ordem do determinante no qual $a_{11} = 1$, o que pode ser obtido realizando trocas de filas ou colocando um escalar em evidência.

Regra Prática:
1º) Seja uma matriz de ordem $n$ com $a_{11} = 1$, suprimem-se a 1ª linha e a 1ª coluna.
2º) De cada elemento restante da matriz subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas extremidades das perpendiculares, traçadas do elemento considerado à 1ª linha e à 1ª coluna, que foram suprimidas.
3º) Com as diferenças obtidas, constrói-se uma matriz de ordem $(n-1)$ cujo determinante é igual ao determinante original.

Vamos aplicar esse método para o cálculo do determinante a seguir, onde inicialmente foram trocadas as posições da 1ª e 2ª linhas e depois da 1ª e 3ª colunas para que tivéssemos $a_{11} = 1$:


$ \left| \begin{matrix}6 & 2 & 3 & 5 \\ -2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 7 & 9 \\ 0 & 15 & -2 & 3 \end{matrix} \right|=-\left| \begin{matrix}-2& 3 & 1 & 4 \\ 6 & 2 & 3 & 5 \\ 3 & 2 & 7 & 9 \\ 0 & 15 & -2 & 3 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix}\boxed{1}& 3 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & 6 & 5 \\ 7 & 2 & 3 & 9 \\ -2 & 15 & 0 & 3 \end{matrix} \right|=$            

$=\left| \begin{matrix}2-3\cdot3 & 6-3\cdot(-2)&5-3\cdot4 \\ 2-7\cdot3 & 3-7\cdot(-2) & 9-7\cdot4 \\ 15-(-2)\cdot3 & 0-(-2)\cdot(-2) & 3-(-2)\cdot4 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} -4 & 12 & -7 \\ -19 & 17 & -19 \\ 21 & -4 & 11 \end{matrix} \right| = -757$



Vamos aplicar a Regra de Chió para calcular o determinante da questão proposta.

$ det \left(A \right)=\left| \begin{matrix} \boxed{1} & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 5 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 1 & 1 & 7 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 9 &  \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 2n-1   \end{matrix} \right|_{n\times n} =

\left| \begin{matrix}  2 & 0 & 0 & 0 &  \cdots & 0  \\  0 & 4 & 0 & 0 &  \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 6 &0 &  \cdots & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 8 &  \cdots & 0 \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots & 2n-2   \end{matrix} \right|_{n\times n} =$


              $=2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dots \cdot \left( 2n-2 \right) = \displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2i } $


Abraço e bom gagá!!!

quinta-feira, 13 de julho de 2017

Questão de plano no $\mathbb{R}^{3}$ da prova de Matemática da EFOMM 2017

O volume de uma pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano $\pi :\space 5x-2y+4z=20 $  é:
a) $\cfrac{20}{3}$ u.v.
b) $\cfrac{50}{3}$ u.v.
c) $\cfrac{100}{3}$ u.v.
d) $100$ u.v.
e) $200$ u.v.

RESOLUÇÃO: c

BIZU: Os denominadores abaixo de cada uma das variáveis na equação segmentária do plano representam os pontos onde o plano cruza o eixo coordenado correspondente. Assim, um plano de equação segmentária $\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}+\cfrac{z}{c}=1$ cruza o eixo $x$ no ponto de coordenadas $(a,0,0)$, o eixo $y$, no ponto de coordenadas $(0,b,0)$ e o eixo $z$, no ponto de coordenadas $(0,0,c)$.


O plano  $\pi :\space 5x-2y+4z=20 $ está representado por sua equação geral e sua equação segmentária é dada por:

 $\pi :\space 5x-2y+4z=20 \Leftrightarrow \cfrac{x}{5}+ \cfrac{y}{-10}+\cfrac{z}{5}=1$

Isso implica que o plano $\pi$ corta os eixos $x$, $y$ e $z$ nos pontos de coordenadas $(4,0,0)$, $(0,-10,0)$ e $(0,0,5)$, respectivamente.

A pirâmide determinada pelo plano $\pi$  e os eixos coordenados está a representada na figura a seguir.



O volume dessa pirâmide é dado por $V_{O-ABC}=\cfrac{1}{3}S_{OAB}\cdot OC=\cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{4 \cdot 10}{2} \cdot 5= \cfrac{100}{3}$ u.v.


Abraço e bom gagá!!!

Questão de misturas da prova de Matemática da EPCAR - 2018

Até a primeira quinzena do mês de março de 2017, o combustível comercializado nos postos de nosso país era uma mistura de 1 parte de etanol para 3 partes de gasolina. Considere esse combustível e um outro que apresenta a mistura de 4 partes de etanol para 9 partes de gasolina. Juntando-se volumes iguais dos dois combustíveis, a nova relação de etanol para gasolina, nesta ordem, será
a) $ \cfrac{5} {9} $
b) $ \cfrac {5}{12}$
c) $ \cfrac{29}{75}$
d) $ \cfrac{31}{75}$

RESOLUÇÃO: c

Em um volume $V$ da primeira mistura, cuja relação etanol-gasolina é $1:3$, temos $\cfrac{V}{4}$ de etanol e $\cfrac{3V}{4}$ de gasolina.

Em um mesmo volume $V$ da segunda mistura, cuja relação etanol-gasolina é $4:9$, temos $\cfrac{4V}{13}$ de etanol e $\cfrac{9V}{13}$ de gasolina.

Juntando esses dois volumes, teremos uma nova mistura na qual a quantidade de etanol é $ \cfrac{V}{4}+\cfrac{4V}{13}=\cfrac{29V}{52}$ e a quantidade de gasolina é $ \cfrac{3V}{4}+\cfrac{9V}{13}=\cfrac{75V}{52}$.

Assim, nessa nova mistura a relação de etanol para gasolina será $ \cfrac{\frac{29V}{52}}{\frac{75V}{52}}=\cfrac{29}{75}$.

BIZU: Para descobrir os volumes de etanol e gasolina em cada uma das misturas, basta lançar mão das propriedades das razões e proporções. Vamos ver como isso é feito no caso de um volume $V$ da primeira mistura, na qual a relação etanol-gasolina é $1:3$. Seja $x$ o volume de etanol e $y$, o volume de gasolina, então temos:
$\cfrac{x}{1}=\cfrac{y}{3}=\cfrac{x+y}{1+3}=\cfrac{V}{4}\Leftrightarrow x=\cfrac{V}{4}\quad e\quad y=\cfrac{3V}{4}$.
A partir dessa ideia, você consegue imaginar como encontrar esses volume de cabeça. Vamos fazer isso para o caso de um volume $V$ da segunda mistura, na qual a relação etanol-gasolina é $4:9$. Assim, o volume de etanol é $ \cfrac{4}{4+9}\cdot V=\cfrac{4V}{13}$ e o volume de gasolina é  $ \cfrac{9}{4+9}\cdot V=\cfrac{9V}{13}$. 


Abraço e bom gagá!!!