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sexta-feira, 7 de setembro de 2018

Calendário, anos bissextos e a proclamação da independência!

Um ano é chamado bissexto quando é múltiplo de $4$, exceto se for um múltiplo de $100$ que não seja múltiplo de $400$. Assim, o ano das olimpíadas no Rio de Janeiro, $2016$, foi um ano bissexto, pois $2016=4\cdot504$ e $2000$ também foi bissexto, pois $2000=5\cdot400$. Por outro lado, o ano de $1900$ não é bissexto, pois é múltiplo de $100$, mas não é múltiplo de $400$. Nos anos bissextos, o mês de fevereiro tem $29$ dias e o ano $366$ dias.

Agora que já sabemos o que são anos bissextos e como identificá-los, vamos a um probleminha sobre calendário.
 


Hoje é o dia da proclamação da independência, 7 de setembro de 2018, e é uma sexta-feira. Vamos tentar calcular em que dia da semana foi proclamada a independência em $1822$.

e $1822$ a $2018$, se passaram $2018-1822=196$ anos. Vamos identificar quantos desses anos foram bissextos. Observe que o primeiro desses anos múltiplo de $4$ foi $1824=4\cdot456$, e o último múltiplo de $4$ foi $2016=4\cdot504$. Assim, teríamos $504-456+1=49$ anos bissextos, mas no período temos os anos de $1900$ e $2000$. Lembremos que $1900$ não é bissexto e $2000$ é bissexto, conforme explicado no início da postagem. Portanto, a quantidade de anos bissextos de $1822$ a $2018$ é $49-1=48$.

Assim, nesse período temos $196$ anos, dos quais $48$ são bissextos. Como os anos bissextos têm um dia adicional, a quantidade de dias no período é $196\cdot365+48$.

Sabemos que uma semana possui $7$ dias, então para comparar dias da semana entre duas datas, devemos analisar a quantidade de dias em módulo $7$ ("resto na divisão por $7$").

$196\cdot365+48\equiv 0\cdot1+6 \equiv 6 \equiv -1 \space (mod7)$
   
Note que $196=7\cdot28$, $365=7\cdot52+1$ e $48=7\cdot6+6$.

Portanto, o dia 7 de setembro de 2018 (sexta-feira) ocorre um dia da semana a menos (que é o mesmo que $6$ dias da semana a mais) do que o dia 7 de setembro de 1822, ou seja, a independência foi proclamada em um SÁBADO.

Abraço e bom gagá!!!