Fatoração 3 - Quadrado da soma e da diferença (Bem explicadinho!)

    Depois de um intervalo maior do que o previsto, vamos retomar as postagens da série "Bem Explicadinho!", agora com frequência quinzenal.
    Nessa postagem vamos dar continuidade ao estudo dos produtos notáveis e fatoração, estudando o quadrado da soma e da diferença. Já foram apresentados os seguintes tópicos sobre fatoração:

Fatoração 1: Evidenciação e Agrupamento

Fatoração 2: Diferença de quadrados

 

Quadrado da soma de dois números

    O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrados do primeiro número mais o dobro do produto do primeiro número pelo segundo mais o quadrado do segundo número. Assim, temos:

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

    Essa expressão pode ser obtida multiplicando-se os fatores e observando a distributividade da multiplicação em relação à adição.

$(x+y)^2=(x+y) \cdot (x+y) = (x+y) \cdot x + (x+y) \cdot y=x^2+yx+xy+y^2=x^2+2xy+y^2$

    Vamos ver alguns exemplo de aplicação desse produto notável.

$(x+3)^2=x^2+2 \cdot x \cdot 3 +3^2=x^2+6x+9$

$(2x+1)^2=(2x)^2+2  \cdot (2x) \cdot 1 +1^2=4x^2+4x+1$

$(3x+2y)^2=(3x)^2+2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2=9x^2+12xy+4y^2$

$(x^2+y^3)^2=(x^2)^2+2x^2y^3+(y^3)^2=x^4+2x^2y^3+y^6$

Quadrado da diferença de dois números

    O quadrado da diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro número menos o dobro do produto do primeiro número pelo segundo mais o quadrado do segundo número.

$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$

    Essa expressão pode ser obtida a partir da expressão do quadrado da soma, como segue.

$(x-y)^2=(x+(-y))^2=x^2+2 \cdot x \cdot(-y) + (-y)^2=x^2-2xy+y^2$

    Vamos ver alguns exemplo de aplicação desse produto notável.

$(x-3)^2=x^2-2 \cdot x \cdot 3 +3^2=x^2-6x+9$

$(2x-1)^2=(2x)^2-2  \cdot (2x) \cdot 1 +1^2=4x^2-4x+1$

$(3x-2y)^2=(3x)^2-2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$

$(x^2-y^3)^2=(x^2)^2-2x^2y^3+(y^3)^2=x^4-2x^2y^3+y^6$

Quadrado da soma de três números

    O quadrado da soma de três números é igual à soma dos quadrados de cada um dos números mais o dobro da soma  dos produtos desses números tomados dois a dois.

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2=2xy+2xz+2yz$

    Essa expressão pode ser obtida a partir da expressão do quadrado da soma de dois números, como segue.

$(x+y+z)^2=((x+y)+z)^2=(x+y)^2+2\cdot(x+y)\cdot z +z^2=x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2=$
                       $= x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$

    Observe que, quando houver sinais negativos, é só considerar isso como a soma com "menos o número". Veja como isso funciona no caso seguinte.

$(a-b-c)^2=(a+(-b)+(-c))^2=a^2+(-b)^2+(-c)^2+2a(-b)+2a(-c)+2(-b)(-c)=$

                      $=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc$

    Agora vamos apresentar alguns exemplos.

$(x+2y+3z)^2=x^2+(2y)^2+(3z)^2+2x(2y)+2x(3z)+2(2y)(3z)=$
                           $=x^2+4y^2+9z^2+4xy+6xz+12yz$

$(x^2-x+2)^2=(x^2)^2+(-x)^2+2^2+2(x^2)(-x)+2(x^2)\cdot 2+2(-x)\cdot 2=$
                              $=x^4+x^2+4-2x^3+4x^2-4x=x^4-2x^3+5x^2-4x+4$

    É hora de fixar conhecimento, resolvendo os exercícios seguintes com bastante atenção. Depois de resolvê-los confira sua resposta com o gabarito comentado.

    Efetue os produtos notáveis a seguir:

1) $(3x+2)^2$

2) $(2a+5b)^2$

3) $(x^2+2x)^2$

4) $\left( x^2+\cfrac{1}{x} \right)$

5) $(2x-1)^2$

6) $(3a-2b)^2$

7) $(x^3-2x)^2$

8) $\left( xy^2- \cfrac {2x^2}{y} \right)$

9) $\left( \cfrac{a}{b} + \cfrac{b}{a} \right)^2$


Resolução de 1 a 8:

1) Vamos lembrar que o quadrado da soma de dois números é o quadrado do primeiro número mais o dobro do produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo número. Nesse caso, o "primeiro número" é $3x$ e o "segundo número" é $2$.
    $(3x+2)^2=(3x)^2+2(3x)\cdot 2+2^2=9x^2+12x+4$

2) Agora a primeira parcela é $2a$ e a segunda parcela $5b$.
    $(2a+5b)^2=(2a)^2+2(2a)(5b)+(5b)^2=4a^2+20ab+25b^2$

3) A primeira parcela é $x^2$ e a segunda parcela é $2x$.
    $(x^2+2x)^2=(x^2)^2+2(x^2)(2x)+(2x)^2=x^4+4x^3+4x^2$

4) Nesse caso, temos uma fração na segunda parcela. A primeira parcela é $x^2$ e a segunda é $\cfrac{1}{x}$.
     $\left( x^2+\cfrac{1}{x} \right)=\left(x^2 \right)^2 +2 \cdot x^2 \cdot \cfrac{1}{x} +\left( \cfrac{1}{x} \right)^2=x^4+2x+\cfrac{1}{x^2}$

5) Nesse exercício temos o quadrado de uma diferença em que o primeiro termo é $2x$ e o segundo $1$.
     $(2x-1)^2=(2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 1+1^2=4x^2-4x+1$

6) Novamente temos o quadrado de uma diferença de primeiro termo $3a$ e segundo $2b$.
     $(3a-2b)^2=(3a)^2-2 \cdot 3a \cdot 2b +(2b)^2=9a^2-12ab+4b^2$

7) Aqui temos o quadrado de uma diferença de primeiro termo $x^3$ e segundo $2x$.
     $(x^3-2x)^2= \left(x^3 \right)^2-2 \cdot x^3 \cdot 2x +(2x)^2=x^6-4x^4+4x^2$

8) Nesse caso, temos o quadrado de um diferença de primeiro termo $xy^2$ e segundo $\cfrac{2x^2}{y}$.
     $\left( xy^2- \cfrac {2x^2}{y} \right)=\left( xy^2\right) -2 \cdot xy^2 \cdot \cfrac{2x^2}{y} +\left( \cfrac{2x^2}{y} \right)^2=x^2y^4-4x^3y+ \cfrac{4x^4}{y^2}$

9) Aqui temos o quadrado de uma soma de primeiro termo $\cfrac{a}{b}$ e segundo termo $\cfrac{b}{a}$.
     $\left( \cfrac{a}{b} + \cfrac{b}{a} \right)^2=\left(\cfrac{a}{b}\right)^2+2\cdot \cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{b}{a}+ \left( \cfrac{b}{a} \right)^2=\cfrac{a^2}{b^2}+2+ \cfrac{b^2}{a^2}$


Agora vamos fazer mais alguns exercícios de fixação com o quadrado de três termos.

Efetue os produtos notáveis a seguir:

10) $(x+2y+3z)^2$

11) $(x^2+x+1)^2$

12) $(2x-y-z)^2$

13) $(2x^2-x-3)^2$


Resolução de 10 a 13:

10) Nesse primeiro exercício temos o quadrado da soma de três termos, onde o primeiro termo é $x$, o segundo $2y$ e o terceiro $3z$.
    $(x+2y+3z)^2=x^2+(2y)^2+(3z)^2+2\cdot x \cdot 2y+2 \cdot x \cdot 3z + 2\cdot 2y \cdot 3z=x^2+4y^2+9z^2+4xy+6xz+12yz$

11)  Agora temos o quadrado de uma soma de três termos, onde o primeiro termo é $x^2$, o segundo $x$ e o terceiro $1$.
    $(x^2+x+1)^2 = (x^2)^2+x^2+1^2+ 2 \cdot x^2 \cdot x + 2 \cdot x^2 \cdot 1 +2 \cdot x \cdot 1=x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x=x^4+2x^3+3x^2+2x+1$

12) Agora a situação é um pouco diferente. Temos o quadrado de uma "soma" de três termos, mas temos que considerar o primeiro termo $2x$, o segundo $-y$ e o terceiro $-z$, onde consideramos todas as operações como somas e incluímos o sinal menos nos termos.
    $(2x-y-z)^2 = (2x+(-y)+(-z))^2= \\ =(2x)^2+(-y)^2+(-z)^2+ 2 \cdot 2x \cdot (-y) +2 \cdot 2x \cdot (-z)  +2 \cdot (-y) \cdot (-z)= \\ = 4x^2+y^2+z^2-4xy-4xz+2yz$

13) Novamente termos o quadrado de uma soma de três termos, onde o primeiro termo é $2x^2$, o segundo $-x$ e o terceiro $-3$.
    $(2x^2-x-3)^2=(2x^2+(-x)+(-3))^2= \\ =(2x^2)^2+(-x)^2+(-3)^2+2 \cdot 2x^2 \cdot (-x)  +2 \cdot 2x^2 \cdot (-3)  +2 \cdot (-x) \cdot (-3)= \\ =4x^4+x^2+9-4x^3-12x^2+6x=4x^4-4x^3-11x^2+6x+9$

Vamos agora aplicar esse produto notável para fatorar expressões algébricas.

Fatore as expressões seguintes:

14) $x^2+10x+25$

15) $4x^2+4x+1$

16) $64x^2+80x+25$

17) $49+14x^n+x^{2n}$

18) $x^2-6x+9$

19) $y^2-10x^2y+25x^4$

20) $25x^4-10x^2+1$


Resolução dos exercícios 14 a 20:

14) Nesse exercício vamos tentar se na expressão aparece uma estrutura da forma "primeiro termo ao quadrado" mais "duas vezes o primeiro vezes o segundo" mais o "segundo termo ao quadrado".
    $x^2+10x+25 = x^2 +2 \cdot x \cdot 5 +5^2 = (x+5)^2$

15) $4x^2+4x+1 = (2x)^2 +2 \cdot 2x \cdot 1 +1^2=(2x+1)^2$

16) $64x^2+80x+25 = (8x)^2+2 \cdot 8x \cdot 5 +5^2 = (8x+5)^2$

17) $49+14x^n+x^{2n} = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot x^n+(x^n)^2 = (7+x^n)^2$

18) Nesse exercício, vamos procurar uma estrutura similar a do quadrado de uma diferença.
    $x^2-6x+9 = x^2-2 \cdot x \cdot 3 +3^2= (x-3)^2$

19) $y^2-10x^2y+25x^4 = y^2 -2 \cdot y \cdot 5x^2 + (5x^2)^2=(y-5x^2)^2$

20) $25x^4-10x^2+1 = (5x^2)^2 -2 \cdot (5x^2) \cdot 1 +1^2 = (5x^2-1)^2$


Já estamos prontos para fazer alguns exercícios mais elaborados.

21) (CEFET 1984) O resultado de $(-x- \sqrt{2})^2$ é:
a) $x^2-2 \sqrt{2}x +2$
b) $x^2+2 \sqrt{2}x +2$
c) $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$
d) $x^2-2$
e) $x^2+2$

22) (EPCAr 1983) Equivale a $(x+y)^2-(x-y)^2+(x+y) \cdot (x-y)$ a expressão
a) $x^2+y^2$
b) $3x^2+y^2$
c) $3x^2+6xy+3y^2$
d) $x^2+4xy-y^2$
e) $2x^2+3y^2$

23) (EPCAr 1983) Seja “E” o termo que substitui os pontos em $\cfrac{x^2}{y^6}+...+\cfrac{9}{k^2}$, a fim de tornar tal expressão o quadrado de uma soma. Calcule o valor de “E” para $x=k=-y=1$.
 a) $-4$        b) $4$        c) $0$        d) $6$        e) $-6$

24) (EPCAr 1984) A expressão $K-\cfrac{4x^5}{y^2}+4x^4$, representa o quadrado de uma diferença. Calcule o valor de $K$ para $x = – \cfrac{1}{2}$ e $y = \cfrac{1}{3}$.

a) $-\cfrac{243}{128}$        b) $-\cfrac{81}{64}$        c) $-\cfrac{64}{81}$        d) $\cfrac{81}{64}$        e) $\cfrac{64}{81}$

25) (EPCAr 1986) Se $K$ é o valor que torna o trinômio $\cfrac{a^{2m}}{c^{2p}}-\cfrac{2a^m b^n}{c^pd^q} + K$ o quadrado de uma diferença. Calcule $K$ para $b=-d=-n=q=2$.
a) $(-2)^8$        b) $2^{-8}$        c) $2^{-4}$        d) $(-2)^4$        e) $2^8$

Resolução 21 a 25:

21) (b) Nesse exercício vamos aplicar a expressão do quadrado de uma soma considerando o primeiro termo $-x$ e o segundo termo $-\sqrt{2}$.
$\left(-x- \sqrt{2} \right)^2 = (-x)^2+ 2 \cdot (-x) \cdot \left(-\sqrt{2} \right) +\left(-\sqrt{2} \right)^2 = x^2+2 \sqrt{2}x+2$

22) (d)
$(x+y)^2-(x-y)^2+(x+y) \cdot (x-y) = (x^2+2xy+y^2) - (x^2-2xy+y^2) + (x^2-y^2)= =x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2+x^2-y^2=x^2+4xy-y^2$

23) (e) No quadrado de uma soma o termo do meio deve ser o dobro do primeiro termo vezes o segundo termo. Assim, temos:
$E=2 \cdot \cfrac{x}{y^3} \cdot \cfrac{3}{k}=\cfrac{6x}{y^3k}$
Para $x=k=-y=1$, então $E=\cfrac{6\cdot1}{(-1)^3 \cdot 1}=-6$

24) (d) Como a expressão representa o quadrado de uma diferença, então o termo negativo deve ser duas vezes o primeiro termo vezes o segundo e o termo positivo deve ser o quadrado do segundo termo.
Se o quadrado do segundo termo é $4x^4$, então o segundo termo é $2x^2$.
Analisando o termo do meio, temos: $-\cfrac{4x^5}{y^2}=-2 \cdot \cfrac{x^3}{y^2} \cdot 2x^2$
Logo, o primeiro termo é $\cfrac{x^3}{y^2}$ e o seu quadrado será $K=\cfrac{x^6}{y^4}$.
Para $x = – \cfrac{1}{2}$ e $y = \cfrac{1}{3}$, temos: $K=\cfrac{x^6}{y^4}=\cfrac{\left(– \cfrac{1}{2}\right)^6}{\left( \cfrac{1}{3}\right)^4}=\cfrac{3^4}{2^6}$

25) (b) Para que a expressão seja o quadrado de uma diferença, podemos identificar a primeira parcela como o quadrado do primeiro termo e a parcela negativa como menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, o que permitirá identificar o segundo termo. Assim, K será o quadrado do segundo termo .
Se o quadrado do primeiro termo é $\cfrac{a^{2m}}{c^{2p}}$, então o primeiro termo é $\cfrac{a^m}{c^p}$.
Menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo é $-\cfrac{2a^m b^n}{c^pd^q}$, então o segundo termo é $\cfrac{b^n}{d^q}$.
Portanto, $K= \left(\cfrac{b^n}{d^q} \right)^2= \cfrac{b^{2n}}{d^{2q}}$.
Para $b=-d=-n=q=2$, resulta $K=\cfrac{2^{2 \cdot (-2)}}{(-2)^{2 \cdot 2}}=2^{-8}$.


26) (EPCAr 2000) Se $a$ e $b$ são reais positivos, a expressão $\cfrac{\left(a+2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b\right) \left(a-2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b\right)}{a^2-b^2}$ é equivalente a:
a) $\cfrac{a+b}{a-b}$        b) $\cfrac{a-b}{a+b}$        c) $\cfrac{b-a}{a+b}$        d)$1$

27) (EPCAr 2001) Se $3^x+3^{-x}=5$ então $2\cdot(9^x+9^{-x})$ é igual a:
a) $50$        b) $46$        c) $25$        d) $23$

28) (EPCAR 2004) Assinale a alternativa que corresponde à expressão $\sqrt{1+\left(\cfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}$ simplificada, onde $x \neq 0$:
a) $\cfrac{x^2}{\sqrt{2}}$
b) $\cfrac{x^4-1}{2x^2}$
c) $\cfrac{\sqrt{x^2+1}}{2}$
d) $\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{1}{2x^2}$

Resolução 26 a 28:

26) (b) No numerador identificamos o produto do quadrado de uma soma pelo quadrado de uma diferença e, no denominador, podemos aplicar diferença de quadrados. Depois podemos identificar, no numerador, o produto da soma pela diferença, que resulta no quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo.

$\cfrac{\left(a+2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b\right) \left(a-2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b\right)}{a^2-b^2}=$ $\cfrac{\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot \left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)^2}{(a+b)(a-b)}=$ $\cfrac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)}=\cfrac{a-b}{a+b}$

27) (b) Vamos elevar a expressão $3^x+3^{-x}=5$ ao quadrado a fim de obter $2\cdot(9^x+9^{-x})$.

$\left(3^x+3^{-x} \right)^2=5^2 \Leftrightarrow \left(3^x \right)^2 +2 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} + \left(3^{-x} \right)^2=25 \Leftrightarrow 9^x+2+9^{-x}=25 \Leftrightarrow 9^x+9^{-x}=23$

 $\Rightarrow 2\cdot(9^x+9^{-x})=2 \cdot 23=46$.

28) (d) Inicialmente, vamos elevar os termos que estão ao quadrado e depois fazer o MMC dos denominadores. No final, efetuamos a raiz quadrada.

$\sqrt{1+\left(\cfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}= \sqrt{1+\cfrac{x^8-2x^4+1}{4x^4}} =\sqrt{\cfrac{4x^4+x^8-2x^4+1}{4x^4}} =$

$=\sqrt{\cfrac{x^8+2x^4+1}{4x^4}}=$ $\sqrt{\cfrac{\left(x^4+1\right)^2}{4x^4}}=$ $\left| \cfrac{x^4+1}{2x^2} \right|=$ $\cfrac{x^4+1}{2x^2}$

29) (CN 1977) Simplificando $\cfrac{a^4-b^4}{(a^2+b^2+2ab)\cdot(a^2+b^2-2ab)}-\cfrac{2ab}{a^2-b^2}$ para $b \neq \pm a$, obtém-se:

a) $1$        b) $\cfrac{a+b}{a-b}$        c) $\cfrac{b}{a}$        d) $\cfrac{a-b}{a+b}$        e) $\cfrac{a}{b}$

30) (CN 1983) Se $\cfrac{2}{x}+\cfrac{2}{y}+\cfrac{2}{z}+\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{xz}+\cfrac{z}{xy}=\cfrac{8}{3}$ e $x+y+z=16$, o produto $x\cdot y \cdot z$ é:
a) $192$        b) $48$        c) $32$        d) $108$        e) $96$

31) (CN 1987) Simplificando a expressão abaixo, para os valores de $a$, $b$ e $c$ que não anulam o denominador, obtém-se:
$\cfrac{(a^2-b^2-c^2-2bc)\cdot(a+b-c)}{(a+b+c)\cdot(a^2+c^2-2ac-b^2)}$
a) $1$        b) $2$        c) $3$        d) $a+b+c$        e) $a-b+c$

32) (CN 1994) Efetuando-se $\cfrac{x}{2+y}+\cfrac{4-4x+x^2}{y^2+4y+4}\div \cfrac{2-x}{2+y}$, encontra-se:
a) $\cfrac{x}{y+2}$        b) $\cfrac{x+2}{y+2}$        c) $\cfrac{2}{y+2}$        d) $\cfrac{2x}{y+2}$       e) $\cfrac{2-x}{y+2}$

33) (CN 2006) Simplificando-se a fração $\cfrac{a^4+b^4-6a^2b^2}{a^2-b^2-2ab}$, onde $a>b$, obtém-se:
a) $a^2-b^2-2ab$        b) $a^2-b^2+2ab$        c) $a^2+b^2+2ab$        d) $a^2+b^2-2ab$        e) $a^2+b^2$


Resolução 29 a 33:

29) (d)
$\cfrac{a^4-b^4}{(a^2+b^2+2ab)\cdot(a^2+b^2-2ab)}-\cfrac{2ab}{a^2-b^2}=$ $\cfrac{\left(a^2+b^2\right) \left(a^2-b^2 \right)}{(a+b)^2(a-b)^2}-\cfrac{2ab}{(a+b)(a-b)}=$
$=\cfrac{\left(a^2+b^2\right) (a+b)(a-b)}{(a+b)^2(a-b)^2}-\cfrac{2ab}{(a+b)(a-b)}=$  $\cfrac{a^2+b^2}{(a+b)(a-b)}-\cfrac{2ab}{(a+b)(a-b)}=$ 
$\cfrac{a^2+b^2-2ab}{(a+b)(a-b)}=$ $\cfrac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)}=\cfrac{a-b}{a+b}$

30) (e) Nessa questão devemos fazer o MMC de todos os denominadores do lado esquerdo e depois observar que o numerador obtido é o quadrado de uma soma de três termos.
$\cfrac{2}{x}+\cfrac{2}{y}+\cfrac{2}{z}+\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{xz}+\cfrac{z}{xy}=\cfrac{8}{3} \Leftrightarrow$ $\cfrac{2yz+2xz+2xy+x^2+y^2+z^2}{xyz}=\cfrac{8}{3} \Leftrightarrow$ $\cfrac{(x+y+z)^2}{xyz}=\cfrac{8}{3}$
Substituindo $x+y+z=16$ na expressão acima, temos: $\cfrac{16^2}{xyz}=\cfrac{8}{3} \Leftrightarrow xyz=96$

31) (a)
$\cfrac{(a^2-b^2-c^2-2bc)\cdot(a+b-c)}{(a+b+c)\cdot(a^2+c^2-2ac-b^2)}$   $=\cfrac{(a^2-(b^2+2bc+c^2)) \cdot (a+b-c)}{(a+b+c)((a^2-2ac+c^2)-b^2)}$
$=\cfrac{(a^2-(b+c)^2) \cdot (a+b-c)}{(a+b+c)((a-c)^2-b^2)}$ $=\cfrac{(a+b+b)(a-b-c)(a+b-c)}{(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c)}=1$

32) (c)
$\cfrac{x}{2+y}+\cfrac{4-4x+x^2}{y^2+4y+4}\div \cfrac{2-x}{2+y}$ $=\cfrac{x}{2+y}+\cfrac{(2-x)^2}{(y+2)^2} \cdot \cfrac{2+y}{2-x}$ $=\cfrac{x}{2+y}+\cfrac{2-x}{2+y}=\cfrac{2}{2+y}$

33)
$\cfrac{a^4+b^4-6a^2b^2}{a^2-b^2-2ab}=\cfrac{a^4-2a^2b^2+b^4-4a^2b^2}{a^2-b^2-2ab}=\cfrac{\left(a^2-b^2\right)^2-(2ab)^2}{a^2-b^2-2ab} \\ =\cfrac{(a^2-b^2+2ab)(a^2-b^2-2ab)}{a^2-b^2-2ab}=a^2-b^2+2ab$


Desafio


1) Se $x=\sqrt{1+1992^2+\cfrac{1992^2}{1993^2}}+\cfrac{1992}{1993}$, então qual das afirmações é verdadeira?
a) $1992<x<1993$
b) $x=1993$
c) $1993<x<1994$
d) $x=1994$
e) $x>1994$

Resolução Desafio 1: (b) (Referência: UK National Mathematics Contest 1992)
Seja $1992=n$, então $1993=n+1$. Substituindo na expressão de $x$, vem:
$x=\sqrt{1+n^2+\cfrac{n^2}{(n+1)^2}}+\cfrac{n}{n+1}=\sqrt{\cfrac{(n+1)^2+n^2(n+1)^2+n^2}{(n+1)^2}}+\cfrac{n}{n+1}=$
$=\sqrt{\cfrac{n^2(n+1)^2+2n^2+2n+1}{(n+1)^2}}+\cfrac{n}{n+1}=\sqrt{\cfrac{n^2(n+1)^2+2n(n+1)+1}{(n+1)^2}}+\cfrac{n}{n+1}=$
$=\sqrt{\cfrac{[n(n+1)+1]^2}{(n+1)^2}}+\cfrac{n}{n+1}=\cfrac{n(n+1)+1}{n+1}+\cfrac{n}{n+1}=$
$\cfrac{n^2+2n+1}{n+1}=\cfrac{(n+1)^2}{n+1}=n+1$
Portanto, $x=n+1=1993$.


Na postagem da próxima quinzena, vamos continuar com os produtos notáveis e fatorações, apresentando o cubo da soma e da diferença. A pedido dos nossos leitores, vamos também iniciar uma nova série com teoria dos números.

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    Caso você tenha alguma sugestão de tema para as próximas postagens, também se manifeste nos comentários.

Abraço e bom gagá!!!