O teorema de Ptolomeu e a questão 14 da 1ª fase do IME 2018

Teorema de Ptolomeu

Em um quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.

Seja o quadrilátero inscritível ABCD da figura a seguir, então $ p \cdot q = a \cdot c + b \cdot d$.

Demonstração:

Seja $AJ$ uma ceviana isogonal a $AC$, então

$B\hat{A}J=C\hat{A}D$ e $A\hat{B}J=A\hat{C}D$ (ângulos inscritos relativos ao arco AD menor) $\Rightarrow \triangle AJB \sim ADC$

$\Rightarrow \cfrac{BJ}{CD}=\cfrac{AB}{AC}$     (i)

$D\hat{A}J=C\hat{A}B$ e $A\hat{D}J=A\hat{C}B$ (ângulos inscritos relativos ao arco AB menor) $\Rightarrow \triangle AJD \sim ABC$

$\Rightarrow \cfrac{DJ}{BC}=\cfrac{AD}{AC}$     (ii)

De (i) e (ii), vem: $BJ+DJ=\cfrac{AB \cdot CD}{AC} + \cfrac{AD \cdot BC}{AC} \Leftrightarrow AC \cdot BD=AB \cdot CD + AD \cdot BC$

Vamos agora aplicar esse teorema para resolver de forma muito simples a questão 14 da prova de Matemática da 1ª fase do IME de 2018.

Seja um heptágono regular de lado $l$ cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz à qual das expressões?
a) $\cfrac {l \cdot d}{d-l}$
b) $\cfrac{d^2}{d-l}$
c) $\cfrac {l \cdot d}{d+l}$
d) $\cfrac{l^2}{d+l}$
e) $\cfrac{3 \cdot d}{2}$

RESOLUÇÃO: a
Seja  ABCDEFG o heptágono regular descrito no enunciado e seja $x$ a medida da sua maior diagonal. Sabemos que o heptágono regular é inscritível em uma circunferência.

Assim, o quadrilátero ACDE é inscritível e podemos aplicar o teorema de Ptolomeu.
$AD \cdot CE=AC \cdot DE + CD \cdot AE \Leftrightarrow x \cdot d = d \cdot l + l \cdot x \Leftrightarrow x = \cfrac {l \cdot d}{d-l}$.

Note ainda que não é a primeira vez que o teorema de Ptolomeu pode ser utilizado para resolver questões do IME. Já apareceram questões de aplicação desse teorema, pelo menos, nos anos de 2004, 1987 e 1966 e também na prova do ITA de 1995.

Abraço e bom gagá!!!