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quinta-feira, 19 de outubro de 2017

O teorema de Ptolomeu e a questão 14 da 1ª fase do IME 2018

Teorema de Ptolomeu

Em um quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.

Seja o quadrilátero inscritível ABCD da figura a seguir, então p \cdot q = a \cdot c + b \cdot d.
Demonstração:
Seja AJ uma ceviana isogonal a AC, então
B\hat{A}J=C\hat{A}D e A\hat{B}J=A\hat{C}D (ângulos inscritos relativos ao arco AD menor) \Rightarrow \triangle AJB \sim ADC
\Rightarrow \cfrac{BJ}{CD}=\cfrac{AB}{AC}     (i)
D\hat{A}J=C\hat{A}B e A\hat{D}J=A\hat{C}B (ângulos inscritos relativos ao arco AB menor) \Rightarrow \triangle AJD \sim ABC
\Rightarrow \cfrac{DJ}{BC}=\cfrac{AD}{AC}     (ii)
De (i) e (ii), vem: BJ+DJ=\cfrac{AB \cdot CD}{AC} + \cfrac{AD \cdot BC}{AC} \Leftrightarrow AC \cdot BD=AB \cdot CD + AD \cdot BC


Vamos agora aplicar esse teorema para resolver de forma muito simples a questão 14 da prova de Matemática da 1ª fase do IME de 2018.

Seja um heptágono regular de lado l cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz à qual das expressões?
a) \cfrac {l \cdot d}{d-l}
b) \cfrac{d^2}{d-l}
c) \cfrac {l \cdot d}{d+l}
d) \cfrac{l^2}{d+l}
e) \cfrac{3 \cdot d}{2}

RESOLUÇÃO: a
Seja  ABCDEFG o heptágono regular descrito no enunciado e seja x a medida da sua maior diagonal. Sabemos que o heptágono regular é inscritível em uma circunferência.

Assim, o quadrilátero ACDE é inscritível e podemos aplicar o teorema de Ptolomeu.
AD \cdot CE=AC \cdot DE + CD \cdot AE \Leftrightarrow x \cdot d = d \cdot l + l \cdot x \Leftrightarrow x = \cfrac {l \cdot d}{d-l}.

Note ainda que não é a primeira vez que o teorema de Ptolomeu pode ser utilizado para resolver questões do IME. Já apareceram questões de aplicação desse teorema, pelo menos, nos anos de 2004, 1987 e 1966 e também na prova do ITA de 1995.

Abraço e bom gagá!!!


Um comentário:

  1. Bom dia, como saber na questão qual quadrilátero inscrição será aplicado o teorema, visto que existem outros quadriláteros possíveis utilizando “x”, “d” e “l”

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