O número 2017 é um número primo. Isso apareceu na questão 6 da prova de Matemática da 1ª fase do vestibular do Instituto Militar de Engenharia (IME). Veja a seguir a sua resolução:
Se X e Y são número naturais tais que X^2-Y^2=2017, o valor de X^2+Y^2 é:
a) 2008010 b) 2012061 c) 2034145 d) 2044145 e) 2052061
RESOLUÇÃO: c
X^2-Y^2=2017 \Leftrightarrow (X+Y)(X-Y)=2017
Como 2017 é um número primo e X+Y>X-Y>0, então
\begin{cases} X+Y=2017\\ X-Y=1 \end{cases} \Leftrightarrow X=1009 \quad e \quad Y=1008
\Rightarrow X^2+Y^2=1009^2+1008^2= (1000+9)^2+1000+8)^2 = 1000000+18000+81 +1000000+16000+64 = 2034145
Vamos agora apresentar o número 2018. Esse número é chamado semiprimo, pois é um produto de dois números primos não necessariamente distintos.
2018 = 2 \cdot 1009
Observe que 1009 é um número primo.
A seguir apresentamos uma questão que explora essa propriedade.
Seja a função f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} tal que f(x)=x^2+x. Sabendo que f(a)-f(b)=2018 e que a e b tem a mesma paridade, o valor de a é:
a) 404 b) 454 c) 505 d) 565 e) 606
RESOLUÇÃO: c
f(a)-f(b)=2018 \Leftrightarrow \left(a^2+a \right) - \left(b^2+b \right)=2 \cdot 1009 \Leftrightarrow \left(a^2-b^2 \right) +(a-b)=2 \cdot1009
\Leftrightarrow (a+b)(a-b)+(a-b)=2\cdot 1009 \Leftrightarrow (a-b)(a+b+1)=2\cdot 1009
Como a+b+1>0 e a+b+1>a-b, então (a-b,a+b+1)\in \left\{ (1,2018); (2,1009) \right\}.
Mas a e b têm a mesma paridade, então os valores de a+b e a-b são números pares, o que implica a-b=2 e a+b+1=1009.
\begin{cases}a+b+1=1009 \\ a-b=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a+b=1008 \\ a-b=2 \end{cases} \Leftrightarrow a=505 \space e \space b=503.
Abraço e bom gagá!!!
Feliz \space \space 2 \cdot 1009 \space !!!
