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sexta-feira, 29 de dezembro de 2017

Feliz 2018!

Essa é a última postagem do ano de 2017. Gostaria de agradecer a todos que acompanharam o blog. O apoio de vocês é que mantém esse projeto vivo.
O número 2017 é um número primo. Isso apareceu na questão 6 da prova de Matemática da 1ª fase do vestibular do Instituto Militar de Engenharia (IME). Veja a seguir a sua resolução:

Se X e Y são número naturais tais que X^2-Y^2=2017, o valor de X^2+Y^2 é:

a) 2008010       b) 2012061     c) 2034145      d) 2044145     e) 2052061

RESOLUÇÃO: c

X^2-Y^2=2017 \Leftrightarrow (X+Y)(X-Y)=2017

Como 2017 é um número primo e X+Y>X-Y>0, então

\begin{cases} X+Y=2017\\ X-Y=1 \end{cases} \Leftrightarrow X=1009 \quad e \quad Y=1008

\Rightarrow X^2+Y^2=1009^2+1008^2= (1000+9)^2+1000+8)^2 = 1000000+18000+81 +1000000+16000+64 = 2034145

Vamos agora apresentar o número 2018. Esse número é chamado semiprimo, pois é um produto de dois números primos não necessariamente distintos.

2018 = 2 \cdot 1009

Observe que 1009 é um número primo.

A seguir apresentamos uma questão que explora essa propriedade.

Seja a função f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} tal que f(x)=x^2+x. Sabendo que f(a)-f(b)=2018 e que a e b tem a mesma paridade, o valor de a é:

a) 404      b) 454     c) 505      d) 565    e) 606

RESOLUÇÃO: c

f(a)-f(b)=2018 \Leftrightarrow \left(a^2+a \right) - \left(b^2+b \right)=2 \cdot 1009 \Leftrightarrow \left(a^2-b^2 \right) +(a-b)=2 \cdot1009

\Leftrightarrow (a+b)(a-b)+(a-b)=2\cdot 1009 \Leftrightarrow (a-b)(a+b+1)=2\cdot 1009

Como a+b+1>0 e a+b+1>a-b, então (a-b,a+b+1)\in \left\{ (1,2018); (2,1009) \right\}.

Mas a e b têm a mesma paridade, então os valores de a+b  e a-b são números pares, o que implica a-b=2 e a+b+1=1009.

\begin{cases}a+b+1=1009 \\ a-b=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a+b=1008 \\ a-b=2 \end{cases} \Leftrightarrow a=505 \space e \space b=503.


Abraço e bom gagá!!!

 Feliz \space \space 2 \cdot 1009 \space !!! 





7 comentários:

  1. Parabéns pela iniciativa. Este site ajuda muito aqueles adolescentes que não tem condições de pagar um cursinho preparatório.

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  2. Mestre terá a resolução da naval 2017-2018?

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    Respostas
    1. A resolução da prova da Escola Naval será postada em breve. Obrigado pelo contato.

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