Feliz 2018!

Essa é a última postagem do ano de 2017. Gostaria de agradecer a todos que acompanharam o blog. O apoio de vocês é que mantém esse projeto vivo.
O número 2017 é um número primo. Isso apareceu na questão 6 da prova de Matemática da 1ª fase do vestibular do Instituto Militar de Engenharia (IME). Veja a seguir a sua resolução:

Se $X$ e $Y$ são número naturais tais que $X^2-Y^2=2017$, o valor de $X^2+Y^2$ é:

a) $2008010$       b) $2012061$     c) $2034145$      d) $2044145$     e) $2052061$

RESOLUÇÃO: c

$X^2-Y^2=2017 \Leftrightarrow (X+Y)(X-Y)=2017$

Como $2017$ é um número primo e $X+Y>X-Y>0$, então

$ \begin{cases} X+Y=2017\\ X-Y=1 \end{cases} \Leftrightarrow X=1009 \quad e \quad Y=1008$

$\Rightarrow X^2+Y^2=1009^2+1008^2= (1000+9)^2+1000+8)^2 = 1000000+18000+81 +1000000+16000+64 = 2034145$

Vamos agora apresentar o número 2018. Esse número é chamado semiprimo, pois é um produto de dois números primos não necessariamente distintos.

$2018 = 2 \cdot 1009$

Observe que $1009$ é um número primo.

A seguir apresentamos uma questão que explora essa propriedade.

Seja a função $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ tal que $f(x)=x^2+x$. Sabendo que $f(a)-f(b)=2018$ e que $a$ e $b$ tem a mesma paridade, o valor de $a$ é:

a) $404$      b) $454$     c) $505$      d) $565$    e) $606$

RESOLUÇÃO: c

$f(a)-f(b)=2018 \Leftrightarrow \left(a^2+a \right) - \left(b^2+b \right)=2 \cdot 1009 \Leftrightarrow \left(a^2-b^2 \right) +(a-b)=2 \cdot1009$

$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)+(a-b)=2\cdot 1009 \Leftrightarrow (a-b)(a+b+1)=2\cdot 1009$

Como $a+b+1>0$ e $a+b+1>a-b$, então $(a-b,a+b+1)\in \left\{ (1,2018); (2,1009) \right\}$.

Mas $a$ e $b$ têm a mesma paridade, então os valores de $a+b$  e $a-b$ são números pares, o que implica $a-b=2$ e $a+b+1=1009$.

$\begin{cases}a+b+1=1009 \\ a-b=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a+b=1008 \\ a-b=2 \end{cases} \Leftrightarrow a=505 \space e \space b=503.$


Abraço e bom gagá!!!

 $Feliz \space \space 2 \cdot 1009 \space !!!$