Fatoração 4 - Cubo da soma e da diferença (Bem explicadinho!)

    Nessa postagem vamos dar continuidade ao estudo dos produtos notáveis e fatoração, estudando o cubo da soma e da diferença. Já foram apresentados os seguintes tópicos sobre fatoração:

Fatoração 1: Evidenciação e Agrupamento

Fatoração 2: Diferença de quadrados

Fatoração 3: Quadrado da soma e da diferença

  

Cubo da soma de dois termos

    O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo. Assim, temos:

$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

     Uma outra maneira de escrever essa expressão, que costuma ser útil é a seguinte:

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab \cdot(a+b)$

     As expressões acima podem ser obtidas utilizando-se a distributividade da multiplicação em relação à adição. Assim, temos:

$(a+b)^3=(a+b)^2 \cdot(a+b)=(a^2+2ab+b^2) \cdot (a+b)=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=$

                                     $= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

     Vamos apresentar alguns exemplos de aplicação desse produto notável.

$(x+2)^3=x^3+3 \cdot x^2 \cdot 2 +3 \cdot x \cdot 2^2 +2^3=x^3+6x^2+12x+8$

$ (2x+1)^3=(2x)^3+3 \cdot (2x)^2 \cdot 1+3 \cdot 2x \cdot 1^2+1^3=8x^3+12x^2+6x+1$

$(3x+2y)^3=(3x)^3+3 \cdot (3x)^2 \cdot 2y+3 \cdot 3x \cdot (2y)^2+(2y)^3=27x^3+54x^2y+36xy^2+8y^3$

$(x^2+y^3)^3=(x^2)^3+3 \cdot(x^2)^2 \cdot y^3+3 \cdot x^2 \cdot(y^3)^2 + (y^3)^3=x^6+3x^4y^3+3x^2y^6+y^9$

Cubo da diferença de dois termos

    O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo. Assim, temos:

$ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

     Uma outra maneira de escrever essa expressão, que costuma ser útil é a seguinte:

$(a-b)^3=a^3-b^3-3ab \cdot(a-b)$

     As expressões acima podem ser obtidas utilizando-se a distributividade da multiplicação em relação à adição. Assim, temos:

$(a-b)^3=(a-b)^2 \cdot(a-b)=(a^2-2ab+b^2) \cdot (a-b)=a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3=$

                                     $= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

     Vamos apresentar alguns exemplos de aplicação desse produto notável.

$(x-2)^3=x^3-3 \cdot x^2 \cdot 2 +3 \cdot x \cdot 2^2 -2^3=x^3-6x^2+12x-8$

$ (2x-1)^3=(2x)^3-3 \cdot (2x)^2 \cdot 1+3 \cdot 2x \cdot 1^2-1^3=8x^3-12x^2+6x-1$

$(3x-2y)^3=(3x)^3-3 \cdot (3x)^2 \cdot 2y+3 \cdot 3x \cdot (2y)^2-(2y)^3=27x^3-54x^2y+36xy^2-8y^3$

$(x^2-y^3)^3=(x^2)^3-3 \cdot(x^2)^2 \cdot y^3+3 \cdot x^2 \cdot(y^3)^2 - (y^3)^3=x^6-3x^4y^3+3x^2y^6-y^9$