Fatoração 4 - Cubo da soma e da diferença (Bem explicadinho!)

    Nessa postagem vamos dar continuidade ao estudo dos produtos notáveis e fatoração, estudando o cubo da soma e da diferença. Já foram apresentados os seguintes tópicos sobre fatoração:

Fatoração 1: Evidenciação e Agrupamento

Fatoração 2: Diferença de quadrados

Fatoração 3: Quadrado da soma e da diferença

  

Cubo da soma de dois termos

    O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo. Assim, temos:

$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

     Uma outra maneira de escrever essa expressão, que costuma ser útil é a seguinte:

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab \cdot(a+b)$

     As expressões acima podem ser obtidas utilizando-se a distributividade da multiplicação em relação à adição. Assim, temos:

$(a+b)^3=(a+b)^2 \cdot(a+b)=(a^2+2ab+b^2) \cdot (a+b)=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=$

                                     $= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

     Vamos apresentar alguns exemplos de aplicação desse produto notável.

$(x+2)^3=x^3+3 \cdot x^2 \cdot 2 +3 \cdot x \cdot 2^2 +2^3=x^3+6x^2+12x+8$

$ (2x+1)^3=(2x)^3+3 \cdot (2x)^2 \cdot 1+3 \cdot 2x \cdot 1^2+1^3=8x^3+12x^2+6x+1$

$(3x+2y)^3=(3x)^3+3 \cdot (3x)^2 \cdot 2y+3 \cdot 3x \cdot (2y)^2+(2y)^3=27x^3+54x^2y+36xy^2+8y^3$

$(x^2+y^3)^3=(x^2)^3+3 \cdot(x^2)^2 \cdot y^3+3 \cdot x^2 \cdot(y^3)^2 + (y^3)^3=x^6+3x^4y^3+3x^2y^6+y^9$

Cubo da diferença de dois termos

    O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo. Assim, temos:

$ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

     Uma outra maneira de escrever essa expressão, que costuma ser útil é a seguinte:

$(a-b)^3=a^3-b^3-3ab \cdot(a-b)$

     As expressões acima podem ser obtidas utilizando-se a distributividade da multiplicação em relação à adição. Assim, temos:

$(a-b)^3=(a-b)^2 \cdot(a-b)=(a^2-2ab+b^2) \cdot (a-b)=a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3=$

                                     $= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

     Vamos apresentar alguns exemplos de aplicação desse produto notável.

$(x-2)^3=x^3-3 \cdot x^2 \cdot 2 +3 \cdot x \cdot 2^2 -2^3=x^3-6x^2+12x-8$

$ (2x-1)^3=(2x)^3-3 \cdot (2x)^2 \cdot 1+3 \cdot 2x \cdot 1^2-1^3=8x^3-12x^2+6x-1$

$(3x-2y)^3=(3x)^3-3 \cdot (3x)^2 \cdot 2y+3 \cdot 3x \cdot (2y)^2-(2y)^3=27x^3-54x^2y+36xy^2-8y^3$

$(x^2-y^3)^3=(x^2)^3-3 \cdot(x^2)^2 \cdot y^3+3 \cdot x^2 \cdot(y^3)^2 - (y^3)^3=x^6-3x^4y^3+3x^2y^6-y^9$

Cubo da soma de três números

     O cubo da soma de três termos é dado pela seguinte expressão:

$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz$

     Essa expressão pode ser obtida considerando a fórmula do cubo da soma de dois termos como segue:

$(x+y+z)^3=((x+y)+z)^3=(x+y)^3+3(x+y)^2z+3(x+y)z^2+z^3=$ 

$=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+3(x^2+2xy+y^2)z+3xz^2+3yz^2+z^3=$

 $=x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz$

     Observe que, quando houver sinais negativos, é só considerar isso como a soma com "menos o número". Veja como isso funciona no caso seguinte.

$(a-b-c)^3=$

$=a^3+(-b)^3+(-c)^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+3a^2(-c)+3a(-c)^2+3(-b)^2(-c)+3(-b)(-c)^2+6a(-b)(-c)=$

$=a^3-b^3-c^3-3a^2b+3ab^2-3a^2c+3ac^2-3b^2c-3bc^2+6abc$

     Vamos ver alguns exemplos de aplicação dessa fórmula.

$(x+2y+3z)^3=$

$=x^3+(2y)^3+(3z)^3+3x^2(2y)+3x(2y)^2+3x^2(3z)+3x(3z)^2+3(2y)^2(3z)+3(2y)(3z)^2+6x(2y)(3z)=$

$=x^3+8y^3+27z^3+6x^2y+12xy^2+9x^2z+27xz^2+36y^2z+54yz^2+36xyz$

$(x^2-x+2)^3=$

$=(x^2)^3+(-x)^3+2^3+3(x^2)^2(-x)+3(x^2)(-x)^2+3(x^2)^2 \cdot 2 + 3(x^2) \cdot 2^2+3(-x)^2 \cdot 2 +3(-x) \cdot 2^2 \\ + 6(x^2)(-x) \cdot 2=$

$=x^6-x^3+8-3x^3+3x^4+6x^4+12x^2+6x^2-12x-12x^3=$

$=x^6+9x^4-16x^3+18x^2-12x+8$

    O próximo passo é fazer exercícios de fixação para entender melhor como utilizar as fórmulas apresentadas. Tente resolver as questões com cuidado. Sempre que necessário olhe as fórmulas novamente. No final confira seu resultado com o gabarito comentado.

Efetue os produtos notáveis a seguir:

1) $(x+3)^3$

2) $(x^m+2y^3)^3$

3) $(a^8b^5+c^3d^6)^3$

4) $(x-3)^3$

5) $(3a^2-2b)^3$

6) $ (0,5x^2y^{-1}-2xy^2)^3$

Resolução de 1 a 6:

1) Lembrando que o cubo da soma de dois termos é o cubo do primeiro, mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo. Nesse caso, o primeiro termo é $x$ e o segundo, $3$.

     $(x+3)^3 = x^3 +3\cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2+3^3 = x^3+9x^2+27x+27$

2) Agora o primeiro termo é $x^m$ e o segundo, $2y^3$.

     $(x^m+2y^3)^3 = (x^m)^3 +3(x^m)^2(2y^3) +3(x^m)(2y^3)^2 +(2y^3)^3= x^{3m} +6x^{2m}y^3+ 12x^my^6 + 8y^9 $

3) Nesse exercício o primeiro termo é $a^8b^5$ e o segundo $c^3d^6$.

     $(a^8b^5+c^3d^6)^3 = (a^8b^5)^3+3(a^8b^5)^2(c^3d^6)+3(a^8b^5)(c^3d^6)^2+(c^3d^6)^3 = a^{24}b^{15}+3a^{16}b^{10}c^3d^6+3a^8b^5c^6d^{12}+c^9d^{18}$

4) Agora nós temos o cubo de uma diferença. A fórmula é parecida com a do cubo da soma, mas temos uma alternância dos sinais positivo e negativo. Lembrando, também, que o primeiro termo é $x$ e o  segundo $3$.

     $(x-3)^3 = x^3-3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3x \cdot 3^2 - 3^3=x^3-9x^2+27x-27$

Observe que a sequência de sinais é mais, menos, mais, menos.

5) Temos outro cubo de uma diferença, onde o primeiro termo é $3a^2$ e o segundo é $2b$.

 $(3a^2-2b)^3 = (3a^2)^3-3 (3a^2)^2(2b) + 3(3a^2)(2b)^2-(2b)^3 = 27a^6-54a^4b+36a^2b^2-8b^3$

6) Agora temos o cubo de uma diferença de primeiro termo  $ 0,5x^2y^{-1}$ e segundo termo $ 2xy^2$

     $ (0,5x^2y^{-1}-2xy^2)^3 = (0,5x^2y^{-1})^3 - 3 \cdot (0,5x^2y^{-1})^2 \cdot (2xy^2) +3 \cdot(0,5x^2y^{-1})(2xy^2)^2 - (2xy^2)^3$

     $ = 0,125x^6y^{-3}-1,5x^5+6x^4y^3 - 8x^3y^6$

Efetue as seguintes fatorações:

7) $x^3+6x^2+12x+8$

8) $8+36x+54x^2+27x^3$

9) $x^3-9x^2+27x-27$

10) $ 8x^3-12x^2+6x-1$

Resolução de 6 a 10:

7) Inicialmente, você deve observar a semelhança entre essa expressão algébrica e o cubo de uma soma. A partir daí você deve tentar escrever a sua expressão como "cubo do primeiro, mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo", a fim de identificar quem seriam a primeira e a segunda parcela da soma.

    $x^3+6x^2+12x+8 = x^3 +3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 +2^3= (x+2)^3$ 

8) Vamos agora repetir o mesmo procedimento do exercício anterior.

     $8+36x+54x^2+27x^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot (3x)+ 3 \cdot 2 \cdot (3x)^2 +(3x)^3 = (2+3x)^3$

9) Esse exercício é similar aos anteriores, mas a alternância de sinais positivos e negativos indica que trata-se do cubo de uma diferença.

     $x^3-9x^2+27x-27 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 +3 \cdot x \cdot 3^2 -3^3 = (x-3)^3$

10) Vamos repetir o procedimento do exercício anterior.

     $ 8x^3-12x^2+6x-1 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 +3 \cdot (2x) \cdot 1^2 - 1^3 = (2x-1)^3$

11) Calcule $ (a+b-c)^3$.

12) Simplifique

     $(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3- (c+a-b)^3$

Resolução de 11 e 12

11) Nesse exercício vamos aplicar a expressão para o cubo de uma soma de três parcelas, tendo o cuidado de adotar $(-c)$ como terceira parcela.

$(a+b-c)^3= \left( a+b+(-c) \right)^3 =$

$= a^3+b^3+(-c)^3+3a^2b+3a^2(-c)+3b^2a+3b^2(-c)+3(-c)^2 a+3 (-c)^2 b+6 a b \cdot (-c)=$

$= a^3+b^3-c^3+3a^2b-3a^2c+3b^2a-3b^2c+3c^2a+3c^2b-6abc$

12) Nesse exercício, vamos adotar procedimento similar ao anterior, mas para economizar tempo vamos colocar o sinal negativo direto nas parcelas em que o termo com sinal menos tem expoente ímpar.

$(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3- (c+a-b)^3=$

$=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc$

$-(a^3+b^3-c^3+3a^2b-3a^2c+3b^2a-3b^2c+3c^2a+3c^2b-6abc)$

$-(-a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c-3b^2a+3b^2c-3c^2a+3c^2b-6abc)$

$-(a^3-b^3+c^3-3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a-3c^2b-6abc)=$

$=24abc$

Vamos agora resolver alguns exercícios mais elaborados.

13) A expressão $x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$, para $x=a+1$ e $y=a-1$, assume o valor

a) $a^2-1$          b) $8$          c) $8a^3$          d) $0$

14) (ENCE 67) Determine $x$ real tal que $x^3+3x^2+3x-1=0$.

15) (UFJF 67) Determine $x$ real tal que $x^3-3x^2+3x+1=0$.

Resolução de 13 a 15.

13) (b )

     Vamos fatorar a expressão e substituir os valores dados de x e y.

     $x^3-3x^2y+3xy^2-y^3 = (x-y)^3 = 2^3 = 8$

     Note que usamos acima que $x-y = (a+1) - (a - 1) = 2$. 

14)  Vamos completar um cubo perfeito e fatorar.

       $x^3+3x^2+3x-1=0 \Leftrightarrow x^3+3x^2\cdot 1+3x\cdot 1^2+1^3-2=0 \Leftrightarrow (x+1)^3=2$

       Como $x$ é real, então $x=\sqrt[3]{2}-1$.

15)  Novamente, vamos completar um cubo perfeito e fatorar.

        $x^3-3x^2+3x+1=0 \Leftrightarrow x^3 -3x^2 \cdot 1 +3x \cdot 1^2 -1^3+2=0 \Leftrightarrow (x-1)^3=-2$

       Como $x$ é real, então $x=1-\sqrt[3]{2}$.

Vamos agora fazer umas fatorações com aplicação desses produtos notáveis. Mais a frente vamos aprender uma maneira bem mais rápida de fatorar essas expressões usando a identidade de Gauss,

Escreva as expressões a seguir como um produto de fatores de, no máximo, grau dois.

16) $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$

17) $a^3(b-c)^3+b^3(c-a)^3+c^3(a-b)^3$

Resolução do 16 e 17:

16) Vamos elevar as expressões ao cubo, simplificar o que for possível e, depois, fatorar a expressão resultante.

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3+y^3-3y^2z+3yz^2-z^3+z^3-3z^2x+3zx^2-x^3=$

$=3\cdot(-x^2y+xy^2-y^2z+yz^2-z^2x+zx^2)=3\cdot[-xy(x-y)+z(x^2-y^2)-z^2(x-y)]=$

$=3\cdot[-xy(x-y)+z(x+y)(x-y)-z^2(x-y)]=3(x-y)(-xy+zx+zy-z^2)=$

$=3(x-y)[-x(y-z)+z(y-z)]=3(x-y)(y-z)(z-x)$

17) Vamos repetir o mesmo procedimento do exercício anterior.

$a^3(b-c)^3+b^3(c-a)^3+c^3(a-b)^3=$

$=a^3(b^3-3b^2c+3bc^2-c^3)+b^3(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3)+c^3(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)=$

$=3\cdot(-a^3b^2c+a^3bc^2-b^3c^2a+b^3ca^2-c^3a^2b+c^3ab^2)=$

$=3abc(-a^2b+a^2c-b^2c+b^2a-c^2a+c^2b)=$

$=3abc[-a^2(b-c)-bc(b-c)+a(b^2-c^2)]=$

$=3abc[-a^2(b-c)-bc(b-c)+a(b+c)(b-c)]=$

$=3abc(b-c)(-a^2-bc+ab+ac)=3abc(b-c)[a(c-a)-b(c-a)]=$

$=3abc(b-c)(c-a)(a-b)$

18) (CN 1992) Para se explicitar $x$ na equação $ax^2+bx+c=0$, $a \neq 0$, usa-se o recurso da complementação de quadrados. Usando-se o recurso da complementação de cubos, um aluno determinou uma raiz real $r$ da equação $x^3-6x^2+12x-29=0$. Pode-se afirmar que

a) $0 \lt r \lt 1$        b) $1 \lt r  \lt 2$        c) $2 \lt r \lt 3$        d) $3 \lt r \lt 4$        e) $4 \lt r \lt 5$

19) Se $x+x^{-1}=\cfrac{3\sqrt{2}}{2}$, então $x^3+x^{-3}$ é igual a:

a) $\cfrac{9\sqrt{2}}{2}$        b) $\cfrac{9\sqrt{2}}{4}$        c) $\cfrac{27\sqrt{2}}{8}$        d) $\cfrac{27\sqrt{2}}{4}$        e) $\cfrac{3\sqrt{2}}{8}$

Resolução 18 e 19:

18) (e) Vamos identificar o cubo perfeito e complementá-lo, para depois extrair a raiz cúbica.

$x^3-6x^2+12x-29=0 \Leftrightarrow x^3-3\cdot x^2 \cdot 2 +3 \cdot x \cdot 2^2 -2^3+2^3 -29=0 \Leftrightarrow (x-2)^3=21$

$x\in \mathbb{R} \Rightarrow r=x=2+\sqrt[3]{21}$

$\sqrt[3]{8} \lt \sqrt[3]{21} \lt \sqrt[3]{27} \Leftrightarrow 2+2 \lt 2+ \sqrt[3]{21} \lt 2+3 \Leftrightarrow 4 \lt r \lt 5$

19) (b) Vamos elevar a igualdade $x+x^{-1}=\cfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ao cubo para aparecer a expressão $x^3+x^{-3}$.

$\left( x+x^{-1} \right)^3=\left(\cfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^3 \Leftrightarrow x^3+3x^2x^{-1}+3xx^{-2}+x^{-3}=\cfrac{27\sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow x^3+x^{-3}+3\cdot \left(x+x^{-1} \right)=\cfrac{27\sqrt{2}}{4} \Rightarrow x^3+x^{-3}+3\cdot \left( \cfrac{3\sqrt{2}}{2} \right)=\cfrac{27\sqrt{2}}{4}$

$ \Leftrightarrow x^3+x^{-3}=\cfrac{27\sqrt{2}}{4}-\cfrac{9\sqrt{2}}{2}=\cfrac{9\sqrt{2}}{4}$

Desafio:

20) Calcule um valor real de $\sqrt[3]{2+\cfrac{10}{9}\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\cfrac{10}{9}\sqrt{3}}$

Resolução 20:

Vamos igualar a expressão a $x$ e elevá-la ao cubo utilizando que $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$.

$x=\sqrt[3]{2+\cfrac{10}{9}\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\cfrac{10}{9}\sqrt{3}}$

$\Rightarrow x^3=2+\cfrac{10}{9}\sqrt{3}+2-\cfrac{10}{9}\sqrt{3}+3 \left(\sqrt[3]{2+\cfrac{10}{9}\sqrt{3}}\right) \left(\sqrt[3]{2-\cfrac{10}{9}\sqrt{3}} \right) \left(  \sqrt[3]{2+\cfrac{10}{9}\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\cfrac{10}{9}\sqrt{3}}\right)$

$\Rightarrow x^3=4+3\sqrt[3]{2^2-\left(\cfrac{10}{9}\sqrt{3}\right)^2}\cdot x \Leftrightarrow x^3-2x-4=0$

Por inspeção, observamos que $x=2$ é raiz da equação. Portanto, 2 é um valor real da expressão numérica dada.

Se quiséssemos calcular as outras duas raízes da equação do 3º grau, bastaria aplicar o algoritmo de Briott-Rufinni para $x=2$. Isso resultaria em uma equação do 2º grau, mas essa teria duas raízes complexas.

     Na próxima postagem da série, vamos continuar com os produtos notáveis e fatorações, mostrando como fatorar a soma e da diferença de cubos e apresentar a famosa identidade de Gauss.

    Se você ficou com alguma dúvida sobre esse tema, por favor apresente-a nos comentários.
    Caso você tenha alguma sugestão de tema para as próximas postagens, também se manifeste nos comentários.

Abraço e bom gagá!!!