IME 2011 - QUESTÃO 10 - Um determinante interessante

A questão a seguir foi a 10ª da prova de Matemática discursiva do concurso de admissão ao Instituto Militar de Engenharia (IME) de 2010-2011.

Mostre que o determinante abaixo apresenta valor menor ou igual a 16 para todos os valores de $a$, $b$ e $c$, pertencentes ao conjunto dos números reais, que satisfazem a equação $a^2+b^2+c^2=4$.

$\left| \begin{matrix} a+b & b+c & c+a \\ c+a & a+b & b+c \\b+c & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

RESOLUÇÃO:
No determinante $\Delta = \left| \begin{matrix} a+b & b+c & c+a \\ c+a & a+b & b+c \\b+c & c+a & a+b \end{matrix} \right|$, vamos somar as 2ª e 3ª colunas à 1ª coluna.

 $\Delta = \left| \begin{matrix} 2\cdot(a+b+c) & b+c & c+a \\ 2\cdot(a+b+c) & a+b & b+c \\2 \cdot(a+b+c) & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

Agora, vamos colocar $2\cdot(a+b+c)$ em evidência na 1ª coluna.

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot \left| \begin{matrix} 1 & b+c & c+a \\ 1 & a+b & b+c \\1 & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

Vamos subtrair a 2ª linha da 3ª linha e, depois, a 1ª linha da 2ª linha.

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot \left| \begin{matrix} 1 & b+c & c+a \\ 0 & a-c & b-a \\0 & c-b & a-c \end{matrix} \right|$

Aplicando o teorema de Laplace com base na 1ª coluna, temos:

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot 1 \cdot (-1)^{1+1} \left| \begin{matrix}  a-c & b-a \\ c-b & a-c \end{matrix} \right| = 2 \cdot (a+b+c) \cdot \left[ (a-c)^2 - (b-a)(c-b) \right]$

$\quad= 2 \cdot (a+b+c) \cdot (a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab)$

Fazendo $a+b+c=x$, temos:

 $x^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=4+2(ab+ac+bc) \Leftrightarrow ab+ac+bc=\cfrac{x^2-4}{2}$

Assim, o determinante será dado por: $\Delta = 2 \cdot x \cdot \left( 4-\left( \cfrac{x^2-4}{2} \right) \right) = -x^3+12x$

Seja $P(x) = -x^3+12x$, então a sua primeira derivada é $P'(x) =-3x^2+12$, que se anula para $x=\pm2$, e a sua segunda derivada é $P"(x) = -6x$. Como $P"(-2) = 12 > 0$, então $P(-2)=-16$  é um ponto de mínimo local e, como $P"(2) = -12 < 0$, então $P(2)=16$ é um ponto de máximo local.

Observe que, se $x$ pudesse variar em todo o conjunto dos reais, a imagem de $P(x)$ seria $]-\infty,+\infty[$ e o ponto $P(2)=16$ não seria um máximo absoluto.

Entretanto, $x=a+b+c$, com $a^2+b^2+c^2=4$ e $a$, $b$ e $c$ reais, o que limita os valores de $x$. Vamos estudar, então, em que intervalo $x$ pode variar. Para isso vamos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz com os vetores $u=(1,1,1)$ e $v=(a,b,c)$. Assim, temos:

$|u\cdot v|\le|u||v| \Rightarrow |1\cdot a +1\cdot b + 1\cdot c|\le \sqrt{1^2+1^2+1^2} \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3} \sqrt{4}=2\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow |x|=|a+b+c| \le 2 \sqrt{3} \Leftrightarrow -2\sqrt{3} \le x \le 2\sqrt{3}$

Portanto, o domínio de $x$ é $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$. Como $P(-2\sqrt{3})=P(2\sqrt{3})=0<16$, então $P(2)=16$ é um máximo absoluto, e podemos afirmar que o determinante é menor ou igual a $16$.

Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.

Abraço e bom gagá!!!