ITA 2002 - Corrida de bicicletas e o teorema de Bézout

A seguinte questão foi proposta na prova de Matemática do vestibular do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) de 2002.

O seguinte trecho de artigo de um jornal relata uma corrida beneficente de bicicletas: " Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e Rubinho, nesta ordem. Daí em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em nenhum momento da corrida, estiveram lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, mudou de mão nove vezes entre os três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posições trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou para nossos repórteres que David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da corrida."

Com base no trecho acima, você conclui que

a) David ganhou a corrida.

b) Ralf ganhou a corrida.

c) Rubinho chegou em terceiro lugar.

d) Ralf chegou em segundo lugar,

e) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta.

Vamos apresentar agora o teorema de Bézout.

Permutação fundamental ou principal:

Sejam $n$ elementos distintos $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ e suas $n!$ permutações simples. A permutação fundamental ou principal é uma dessas permutações adotada como referência. Por exemplo, no casos dos $n$ primeiros números naturais, podemos adotar como permutação fundamental a ordenação original $1$, $2$, ..., $n$.

Inversão:

Dizemos que ocorre uma inversão quando dois elementos estão dispostos em ordem diferente daquela em que estão na permutação fundamental. Assim, considerando a permutação fundamental $1, \space 2,\space 3$, a permutação $3, \space 1, \space 2$ apresenta $2$ inversões, pois o $3$ está antes do $1$ e o $3$ está antes do $2$.

Naturalmente, a permutação fundamental não apresenta inversões.

Classe de uma permutação:

Uma permutação é de classe par se o número de inversões em relação à permutação fundamental é par.

Uma permutação é de classe ímpar se o número de inversões em relação à permutação fundamental é ímpar.

Duas permutações são ditas afins se têm a mesma classe e, caso contrário, são ditas não-afins.

Teorema de Bézout:

Uma permutação muda de classe quando se troca a posição de dois quaisquer de seus elementos.

Uma consequência imediata é que a classe da permutação não se altera após um número par de inversões e muda após um número ímpar de inversões.

RESOLUÇÃO DA QUESTÃO DO ITA:

A classificação inicial era Ralf, David e Rubinho, que vamos adotar como permutação fundamental, que é de classe par.

O enunciado afirma que Rubinho chegou logo após David. Assim, os possíveis resultados finais são Ralf, David e Rubinho ou David, Rubinho e Ralf.

O resultado final Ralf, David e Rubinho é a própria permutação fundamental e, portanto, de classe par.

O resultado final David, Rubinho e Ralf apresenta $2$ inversões em relação à permutação fundamental e, portanto, também é de classe par.

É informado que a 1ª e 2ª posições mudam $9$ vezes, enquanto a 2ª e 3ª posições mudam $8$ vezes.

Assim, houve $9+8=17$ trocas (inversões), o que implica que o resultado final deveria ser uma permutação de classe ímpar.

Mas os dois possíveis resultados finais são permutações de classe par, então não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta.

RESPOSTA: e

REFERÊNCIA: Apostila Álgebra 5 - Curso Impacto - Autor Reinaldo Pavarino (Olhooooômetro!!!)

Abraço e bom gagá!!!