IME 2017 - Questão 8 - Probabilidade e função

A questão a seguir foi a 8ª questão da prova de Matemática discursiva do concurso de admissão ao Instituto Militar de Engenharia (IME) de 2016/2017. É uma questão interessante, pois envolve análise combinatória, probabilidade e conceitos de função.

Seja $A={1,2,3,4}$.

• Quantas funções de $A$ para $A$ têm exatamente $2$ elementos em seu conjunto imagem?

• Entre as $256$ funções de $A$ para $A$, sorteiam-se as funções $f$ e $g$, podendo haver repetição. Qual a probabilidade da função composta $f \circ g$ ser uma função constante?

RESOLUÇÃO:

Vamos, inicialmente, contar quantas funções de $A$ para $A$ têm exatamente $2$ elementos em seu conjunto imagem.

Devemos escolher $2$ dos $4$ elementos de $A$ para compor a imagem. Isso pode ser feito de $C_{4}^{2}=6$ maneiras.

Para cada escolha dessas, cada um dos $4$ elementos do domínio $A$ terá $2$ opções de imagem, totalizando $2^4=16$ possibilidades. Entretanto, $2$ casos devem ser excluídos, correspondentes aqueles em que todos os elementos do domínio $A$ têm como imagem o mesmo elemento, escolhido dentre as $2$ opções. Assim, para cada escolha de $2$ elementos, há $16-2=14$ possibilidades e o número de funções com $2$ elementos em seu conjunto imagem é $6\cdot14=84$.

Agora, devemos calcular a probabilidade da função composta $f \circ g$ ser uma função constante, onde $f \circ g$ são funções de $A$ para $A$, podendo ser iguais.

Note que $(f\circ g)(x)=f (g(x))$. Assim, devemos estudar a imagem de $f$, considerando como domínio a imagem de $g$.

Vamos separar a nossa análise em 4 casos:

1º) Se a imagem de $g$ possui $1$ elemento ($g$ é constante)

Teremos $4$ possibilidades de funções $g$.

Se $g$ é constante, então $f \circ g$ será constante para qualquer função $f$. Assim, temos $256$ possibilidades de funções $f$.

Logo, o número de pares de funções é $4 \cdot 256 = 1024$.

2º) Se a imagem de $g$ possui $2$ elementos.

Teremos $84$ possibilidades de funções $g$.

Na função $f$, os $2$ elementos da imagem de $g$ devem possuir a mesma imagem. Os dois outros elementos do domínio de $f$ podem ter qualquer imagem. Assim, temos $4 \cdot 1 \cdot 4^2=64$ possibilidades de funções $f$.

Logo, o número de pares de funções é $84 \cdot 64 = 5376$.

3º) Se a imagem de $g$ possui $3$ elementos.

A quantidade de funções $g$ é dada pelo total de funções menos aquelas que tem $4$, $2$ ou $1$ elemento na imagem, ou seja, $256-24-84-4=144$.

Na função $f$, os $3$ elementos da imagem de $g$ devem possuir a mesma imagem. O outro elemento do domínio de $f$ pode ter qualquer imagem. Assim, temos $4 \cdot 1 \cdot1 \cdot 4 =16$ possibilidades de funções $f$.

Logo, o número de pares de funções é $144 \cdot 16 = 2304$

4º) Se a imagem de $g$ possui $4$ elementos.

A quantidade de funções $g$ é  $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4!=24$.

Na função $f$, os $4$ elementos da imagem de $g$ devem possuir a mesma imagem. Assim, temos $4 \cdot 1^3 =4$ possibilidades de funções $f$.

Logo, o número de pares de funções é $24 \cdot 4 = 96$.

Portanto, o total de pares de funções nos quatro casos(número de casos favoráveis) é $1024+5376+2304+96=8800$.

O número de elementos do espaço amostral $\Omega$ é o total de pares de funções, ou seja, $\#(\Omega)=256^2$.

Logo, a probabilidade pedida é $P=\cfrac{8800}{256^2}=\cfrac{275}{2048}$.

Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.

Abraço e bom gagá!!!