Fatoração 1 - Evidenciação e agrupamento (Bem explicadinho!)

Essa é a primeira postagem de uma nova série semanal chamada "Bem explicadinho!". Nessas postagens serão apresentados diversos conteúdos com teoria e exercícios de maneira bem detalhada, a fim de permitir ao estudante um bom entendimento sobre o assunto e a capacidade de resolver exercícios mais complexos. Os exercícios apresentados estarão dispostos em grau de dificuldade crescente e terão soluções detalhadas para consulta.

Evidenciação e Agrupamento

    Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la na forma de um produto de fatores de grau menor do que o da expressão original. Assim, o produto $(x+1) \cdot (x+2)$ é uma fatoração de $x^2+3x+2$. 

    Nesse momento, você ainda não precisa se preocupar em como encontrar $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$. O objetivo, por enquanto, é apenas identificar que essas duas expressões são iguais e que a expressão da direita é a fatoração da expressão da esquerda.

    Produtos notáveis são expressões frequentes no desenvolvimento ou fatoração de expressões algébricas, que costumam ser memorizadas.

    Um produto notável comum é a diferença de quadrados, que tem como resultado o produto da soma pela diferença das bases e permite escrever, por exemplo, $x^2-1=(x+1)(x-1)$.

    Vamos agora estudar a primeira técnica de fatoração chamada evidenciação, que consiste em colocar em evidência um fator comum às diversas parcelas de uma soma algébrica. Isso é consequência da distributividade da multiplicação em relação à adição e à subtração. Observe os exemplos a seguir:

$a \cdot b+a \cdot c=a \cdot (b+c)$

$a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b-c)$

$a \cdot b - a \cdot c +a \cdot d = a \cdot (b-c+d)$

    

    A seguir, veremos alguns exemplos de utilização de evidenciação em situações mais próximas das que aparecem nos problemas.

$x^2y-x^2z+x^2w^2=x^2 \cdot (y-z+w^2)$

$3a^2b+6ab^2=3ab \cdot (a+2b)$

$x^3y^2+x^2y^3-2x^2y^2=x^2y^2 \cdot (x+y-2)$

     A próxima técnica que vamos apresentar é o agrupamento, que consiste em realizar sucessivos procedimentos de evidenciação. Observe o exemplo a seguir:

$a \cdot b + a \cdot c +b \cdot d + c \cdot d = a \cdot (b+c) + d \cdot (b+c) = (b+c) \cdot (a+d)$

$a \cdot b + a \cdot c -b \cdot d -c \cdot d = a \cdot (b+c) - d \cdot (b+c) = (b+c) \cdot (a-d)$  

    A seguir, veremos alguns exemplos de utilização de evidenciação em situações mais próximas das que aparecem nos problemas.

$x^2+ax-bx-ab = x \cdot (x+a) -b \cdot (x+a) = (x+a) \cdot (x-b)$

$x^4-x^3-x+1 = x^3 \cdot (x-1) -1 \cdot (x-1) = (x-1) (x^3 -1)$

    Observe que essa segunda expressão ainda pode ser fatorada em fatores de menor grau usando $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$, que aprenderemos mais a frente.

    Agora é hora de resolver alguns exercícios para fixar os conceitos apresentados.

Fatore: (evidenciação)

1) $4x^3y-12x^2y^2+8xy^8$

2) $3x^5y^3-21x^4y^2+27x^3y^4$

3) $25 \cdot \left( a^2+b+c \right)^5 -4 \cdot \left(a^2+b+c \right)^3$

Resolução 1 a 3:

1) Inicialmente devemos identificar o mdc (máximo divisor comum) dos coeficientes numéricos e o menor grau de cada uma das variáveis nas parcelas a fim de obter o fator comum, no caso, $4xy$.

     $4x^3y-12x^2y^2+8xy^8 = 4xy \cdot \left( x^2-3xy+2y^7 \right)$

2) Fator comum: $3x^3y^2$ 

     $3x^5y^3-21x^4y^2+27x^3y^4 = 3x^3y^2 \cdot \left( x^2y-7x+9y^2 \right)$

3) Fator comum: $\left( a^2+b+c \right)^3$

     $25 \cdot \left( a^2+b+c \right)^5 -4 \cdot \left(a^2+b+c \right)^3 = \left( a^2+b+c \right)^3 \cdot \left( 25 \cdot \left( a^2+b+c \right)^2 -4 \right)$

Fatore: (agrupamento)

4) $bm+mn+ab+an$

5) $bc + by + cy +y^2$

6) $abx -aby -cxd+cdy$

7) $ab^2+d \cdot (c-b) -abc$

Resolução 4 a 7:

4) Vamos colocar m em evidência nas duas primeiras parcelas e a em evidência nas duas últimas parcelas. Depois colocamos o fator comum $(b+n)$ em evidência.

     $bm+mn+ab+an = m \cdot (b+n) + a \cdot (b+n) = (b+n) \cdot (m+a)$

5) Vamos colocar b em evidência nas duas primeiras parcelas e y em evidência nas duas últimas. Depois colocamos o fator comum $(c+y)$ em evidência.

     $bc + by + cy +y^2 = b \cdot (c+y) + y \cdot (c+y) = (c+y) \cdot (b+y)$

6) Vamos colocar $ab$ em evidência nas duas primeiras parcelas e $-cd$ em evidência nas duas últimas. Depois colocamos o fator comum $(x-y)$ em evidência.

     $abx -aby -cxd +cdy = ab \cdot (x-y) - cd \cdot (x-y) = (x-y)(ab-cd)$

7) Vamos colocar $-ab$ em evidência na primeira e na última parcelas. Depois colocamos o fator comum $(c-b)$ em evidência.

     $ab^2+d \cdot (c-b) -abc = -ab \cdot (-b+c) + d \cdot (c-b) = (c-b) (d-ab)$

    Observe que $-b+c = c-b$.

8) (EPCAr 1985) A expressão $x^2-2x-2y-2z+yx+zx$ é equivalente a:

a) $(1-y-z)(x^2-2)$

b) $(x-y+z)(2+x)$

c) $(x-y-z)(2-x)$

d) $(x+y+z)(x-2)$

e) $(x-y-z)(x+2)$

Resolução 8: (d)

Inicialmente, vamos reordenar as parcelas para reunir aquelas que apresentam os fatores comuns que desejamos colocar em evidência. Feito isso, vamos colocar $x$ em evidência nas três primeiras parcelas e $-2$ nas três últimas. Depois colocamos o fator comum $(x+y+z)$ em evidência.

     $x^2-2x-2y-2z+yx+zx = x^2+yx+zx -2x-2y-2z= x \cdot (x+y+z) -2 \cdot (x+y+z)=(x+y+z)(x-2)$

Desafio
9) Fatorando $x^5+x+1$ em dois fatores de menor grau, um dos fatores é
a) $x^2-x+1$
b) $x^2+x-1$
c) $x^2-x-1$
d) $x^3-x^2+1$
e) $x^3+x^2+1$

Resolução 9: (d)
Nessa questão deve-se somar e subtrair $x^4$, $x^3$ e $x^2$ para podermos obter um fator comum. Note que ao somar e subtrair esses termos, o valor da expressão não se altera. Depois disso, devemos reordenar os termos para facilitar a visualização do fator comum $x^2+x+1$.
     $x^5+x+1 = x^5+x^4+x^3+x^2-x^4-x^3-x^2+x+1= x^5+x^4+x^3-x^4-x^3-x^2+x^2+x+1$
                         $=x^3 \cdot(x^2+x+1) -x^2 \cdot(x^2+x+1) +1 \cdot(x^2+x+1) = (x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$

    Na postagem da próxima semana vamos apresentar a diferença de quadrados, que apesar de simples, é muito frequente nos problemas.
    Se você ficou com alguma dúvida sobre esse tema, por favor apresente-a nos comentários.
    Caso você tenha alguma sugestão de tema para as próximas postagens, também se manifeste nos comentários.

Abraço e bom gagá!!!