Fatoração 2 - Diferença de quadrados (Bem explicadinho!)

    Essa é a segunda postagem da série Bem explicadinho! Nós vamos dar sequência ao estudo dos produtos notáveis e fatorações apresentando a diferença de quadrados. Apesar de simples, essa fatoração é muito frequente nos problemas.

Diferença de quadrados

    O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro número menos o quadrado do segundo número.
    Isso é consequência da distributividade da multiplicação em relação à adição, conforme desenvolvimento a seguir.

$(x+y)(x-y)=x \cdot (x-y) +y \cdot  (x-y)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2$

    A expressão também é frequentemente aplicada no sentido contrário para escrever a diferença entre dois quadrados como o produto da soma pela diferença das bases.

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

    Vamos agora apresentar alguns exemplos de aplicação desse produto notável.

$(x+1)(x-1)=x^2-1^2=x^2-1$

$(3ab+8)(3ab-8)=(3ab)^2-8^2=9a^2b^2-64$

$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$

$ 4x^2-9y^2= (2x)^2-(3y)^2=(2x+3y)(2x-3y)$

Fatoração 1 - Evidenciação e agrupamento (Bem explicadinho!)

Essa é a primeira postagem de uma nova série semanal chamada "Bem explicadinho!". Nessas postagens serão apresentados diversos conteúdos com teoria e exercícios de maneira bem detalhada, a fim de permitir ao estudante um bom entendimento sobre o assunto e a capacidade de resolver exercícios mais complexos. Os exercícios apresentados estarão dispostos em grau de dificuldade crescente e terão soluções detalhadas para consulta.

Evidenciação e Agrupamento

    Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la na forma de um produto de fatores de grau menor do que o da expressão original. Assim, o produto $(x+1) \cdot (x+2) $ é uma fatoração de $x^2+3x+2$. 

    Nesse momento, você ainda não precisa se preocupar em como encontrar $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$. O objetivo, por enquanto, é apenas identificar que essas duas expressões são iguais e que a expressão da direita é a fatoração da expressão da esquerda.

    Produtos notáveis são expressões frequentes no desenvolvimento ou fatoração de expressões algébricas, que costumam ser memorizadas.

    Um produto notável comum é a diferença de quadrados, que tem como resultado o produto da soma pela diferença das bases e permite escrever, por exemplo, $x^2-1=(x+1)(x-1)$.

    Vamos agora estudar a primeira técnica de fatoração chamada evidenciação, que consiste em colocar em evidência um fator comum às diversas parcelas de uma soma algébrica. Isso é consequência da distributividade da multiplicação em relação à adição e à subtração. Observe os exemplos a seguir:

$a \cdot b+a \cdot c=a \cdot (b+c)$

$a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b-c)$

$a \cdot b - a \cdot c +a \cdot d = a \cdot (b-c+d)$