Fatoração 2 - Diferença de quadrados (Bem explicadinho!)

    Essa é a segunda postagem da série Bem explicadinho! Nós vamos dar sequência ao estudo dos produtos notáveis e fatorações apresentando a diferença de quadrados. Apesar de simples, essa fatoração é muito frequente nos problemas.

Diferença de quadrados

    O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro número menos o quadrado do segundo número.
    Isso é consequência da distributividade da multiplicação em relação à adição, conforme desenvolvimento a seguir.

$(x+y)(x-y)=x \cdot (x-y) +y \cdot  (x-y)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2$

    A expressão também é frequentemente aplicada no sentido contrário para escrever a diferença entre dois quadrados como o produto da soma pela diferença das bases.

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

    Vamos agora apresentar alguns exemplos de aplicação desse produto notável.

$(x+1)(x-1)=x^2-1^2=x^2-1$

$(3ab+8)(3ab-8)=(3ab)^2-8^2=9a^2b^2-64$

$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$

$ 4x^2-9y^2= (2x)^2-(3y)^2=(2x+3y)(2x-3y)$

    É hora de fixar o conhecimento, para isso resolva os exercícios seguintes com bastante atenção.

Efetue os produtos notáveis a seguir:

1) $(x+3)(x-3)$

2) $ (x^2+y^3)(x^2-y^3)$

3) $(2+x)(x-2)$

4) $(-x+1)(-x-1)$

5) $ \left(x+ \cfrac{1}{3} \right)  \cdot \left(x-\cfrac{1}{3} \right)$

6) $\left( 3x^2- \cfrac{1}{2} \right) \cdot \left(3x^2+\cfrac{1}{2} \right)$


Resolução 1 a 6:

1) Vamos lembrar que o produto da soma de dois números pela diferença desses números é igual ao quadrado do primeiro número menos o quadrado do segundo número.
     $(x+3)(x-3)=x^2-3^2=x^2-9 $

2) $ (x^2+y^3)(x^2-y^3) = (x^2)^2-(y^3)^2=x^4-y^6$

3) Nesse exercício devemos observar que $2+x=x+2$.
    $(2+x)(x-2)=(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$

4) Agora devemos observar que temos o produto da soma pela diferença dos números $(-x)$ e $1$.
    $(-x+1)(-x-1)=(-x)^2-1^2=x^2-1$

5) $ \left(x+ \cfrac{1}{3} \right) \cdot \left(x-\cfrac{1}{3} \right)=
x^2-\left( \cfrac{1}{3} \right)^2=x^2-\cfrac{1}{9}$

6) Observe que o produto é comutativo, então o produto da diferença pela soma de dois números também tem como resultado a diferença entre seus quadrados.
    $\left( 3x^2- \cfrac{1}{2} \right) \cdot \left(3x^2+\cfrac{1}{2} \right)=
(3x^2)^2-\left( \cfrac{1}{2} \right)^2= 9x^4-\cfrac{1}{4}$

Fatore as expressões abaixo:

7) $x^2-64$

8) $4a^2-49b4$

9) $1-x^4$

10) $x^{10}-25y^4$

11) $a^4-b^4$

12) $(a+b)^2-c^2$


Resolução 7 a 12:

7) Inicialmente devemos observar que $64=8^2$, o que implica que a expressão é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada como o produto da soma pela diferença das bases.
    $x^2-64=x^2-8^2=(x+8)(x-8)$

8) Agora devemos observar que $4a^2=(2a)^2$ e que $49b^4=(7b^2)^2$.
     $4a^2-49b^4=(2a)^2-(7b^2)^2=(2a+7b^2)(2a-7b^2)$

9) Nesse exercício devemos observar que $x^4=(x^2)^2$ e utilizar a fatoração diferença de quadrados duas vezes.
     $1-x^4=1^2-(x^2)^2=(1+x^2)(1-x^2)=(1+x^2)(1+x)(1-x)$

10) $x^{10}=(x^5)^2$ e $25y^4=(5y^2)^2$
      $x^{10}-25y^4=(x^5)^2-(5y^2)^2=(x^5+5y^2)(x^5-5y^2)$

11) $a^4=(a^2)^2$ e $b^4=(b^2)^2$
     $a^4-b^4 = (a^2)^2-(b^2)^2=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$

12) Nesse exercício temos uma diferença de quadrados em que a primeira base é $(a+b)$ e a segunda base é $c$.
      $(a+b)^2-c^2=\left( (a+b)+c \right) \cdot \left( (a+b)-c \right) =(a+b+c)(a+b-c)$

    Agora vamos apresentar alguns exercícios um pouco mais elaborados para você desenvolver sua habilidade.

Fatore as expressões a seguir:

13) $x^2-(y+1)^2$

14) $a^2-(b-c)^2$

15) $(x+1)^2-(3x-2)^2$

16) $25(x-y)^2-4(x+y)^2$


Resolução 13 a 16:

13) $x^2-(y+1)^2 = \left( x+(y+1) \right) \cdot \left( x-(y+1) \right)=(x+y+1)(x-y-1)$

14) $a^2-(b-c)^2 = \left( a+(b-c) \right) \cdot \left( a -(b-c) \right)=(a+b-c)(a-b+c)$

15) $(x+1)^2-(3x-2)^2 = \left( (x+1)+(3x-2) \right) \cdot \left( (x+1)-(3x-2) \right) = (x+1+3x-2)(x+1-3x+2)=(4x-1)(-2x+3)$

16) $25(x-y)^2-4(x+y)^2 = \left( 5(x-y) \right)^2- \left( 2(x+y) \right)^2= \left( 5(x-y)+2(x+y) \right) \cdot \left( 5(x-y)-2(x+y) \right) = (5x-5y+2x+2y)(5x-5y-2x-2y)=(7x-3y)(3x-7y)$


17) Fatore $x^8-y^8$ em um produto de quatro fatores.

Resolução 17:
$x^8-y^8=(x^4)^2-(y^4)^2=(x^4+y^4)(x^4-y^4)=(x^4+y^4) \left((x^2)^2-(y^2)^2) \right)=
(x^4+y^4)(x^2+y^2)(x^2-y^2)=(x^4+y^4)((x^2+y^2)(x+y)(x-y)$
Observe que, apesar de não ser pedido no exercício, $x^4+y^4$ ainda poderia ser fatorado como um produto de dois fatores usando a fatoração de Sophie-Germain, que será apresentada mais a frente.


Para os três exercícios seguintes você precisará de dois produtos notáveis que ainda não foram apresentados o quadrado da soma $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ e o quadrado da diferença $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Fatore as expressões a seguir:

18) $a^2+2ab+b^2-c^2$

19) $a^2-1+2ab+b^2$

20) $ 4a^2c^2-a^4+2a^2b^2-b^4$


Resolução 18 a 20:

18) Inicialmente, devemos observar que  $a^2+2ab+b^2= (a+b)^2$ e depois aplicar a diferença de quadrados.
      $a^2+2ab+b^2-c^2= (a+b)^2-c^2=((a+b)+c)((a+b)-c)=(a+b+c)(a+b-c)$

19) Inicialmente, devemos observar que $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ e que $1=1^2$ e depois aplicar a diferença de quadrados.
      $a^2-1+2ab+b^2=a^2+2ab+b^2-1^2=(a+b)^2-1^2=((a+b)+1)((a+b)-1)=(a+b+1)(a+b-1)$

20) Inicialmente, devemos observar que $4a^2c^2=(2ac)^2$ e que $-a^4+2a^2b^2-b^4=-\left( a^2-b^2 \right) ^2$ e depois aplicar a diferença de quadrados.
      $ 4a^2c^2-a^4+2a^2b^2-b^4=(2ac)^2- \left( (a^2)^2-2a^2b^2+(b^2)^2 \right)= (2ac)^2- \left( a^2-b^2 \right)^2=$
      $=\left( 2ac+(a^2-b^2) \right) \left(2ac-(a^2-b^2) \right)=(2ac+a^2-b^2)(2ac-a^2+b^2)$


21) Qual o valor de $319287^2-319286^2$?

a) 1          b) 319286         c) 319287        d) 638573

Resolução 21: (d)

Vamos usar a fatoração diferença de quadrados.

$319287^2-319286^2=(319287+319286)(319287-319286)=638573 \cdot 1=638573$

Desafios

A próxima questão é uma questão clássica que envolve a fatoração diferença de quadrados e um pouco de teoria dos números.

1) A população de Itapipoca era um quadrado perfeito. Depois, com um aumento de 100 habitantes, a população passou a ser uma unidade maior que um quadrado perfeito. Depois, com outro aumento de 100 habitantes, a população voltou a ser um quadrado perfeito. A população original era um múltiplo de:

a) 3      b) 7       c) 9       d) 11       e) 17

Resolução 1: (b)

Seja $x^2$, com $x \in \mathbb{N}$,  a população original de Itapipoca.
Após o aumento de 100 habitantes, podemos representar a nova população por $y^2+1$ (uma unidade maior que um quadrado perfeito), com $y \in \mathbb{N}$, e escrever a equação $x^2+100=y^2+1$.

Após novo aumento de 100 habitantes, podemos representar a população por $z^2$, com $z \in \mathbb{N}$,  e escrever a equação $(y^2+1)+100=z^2$.

Vamos analisar a segunda equação:
$(y^2+1)+100=z^2 \Leftrightarrow  z^2-y^2=101 \Leftrightarrow (z+y)(z-y)=101$

Como 101 é um número primo (seus únicos divisores positivos são 1 e ele mesmo) e $z+y>z-y>0$, então $z+y=101$ e $z-y=1$, o que implica $z=51$ e $y=50$.

Assim, considerando a primeira equação, a população original era $x^2=y^2-99=50^2-99=2401=7^4$, que é múltiplo de 7.

A próxima questão utiliza os mesmos conceitos da anterior e foi a sexta questão da prova de Matemática da 1ª fase do vestibular do Instituto Militar de Engenharia (IME) do ano de 2017/2018. Veja a seguir a sua resolução:

2) (IME 2018) Se $X$ e $Y$ são número naturais tais que $X^2-Y^2=2017$, o valor de $X^2+Y^2$ é:

a) $2008010$       b) $2012061$     c) $2034145$      d) $2044145$     e) $2052061$

Resolução 2: (c)

$X^2-Y^2=2017 \Leftrightarrow (X+Y)(X-Y)=2017$

Como $2017$ é um número primo e $X+Y>X-Y>0$, então

$ \begin{cases} X+Y=2017\\ X-Y=1 \end{cases} \Leftrightarrow X=1009 \quad e \quad Y=1008$

$\Rightarrow X^2+Y^2=1009^2+1008^2= (1000+9)^2+1000+8)^2 = 1000000+18000+81 +1000000+16000+64 = 2034145$

    Na postagem da próxima semana vamos continuar com os produtos notáveis e fatorações, apresentando o quadrado da soma e da diferença.

    Se você ficou com alguma dúvida sobre esse tema, por favor apresente-a nos comentários.
    Caso você tenha alguma sugestão de tema para as próximas postagens, também se manifeste nos comentários.

Abraço e bom gagá!!!