Questão de equações da prova de Matemática da EPCAr-2018

Considere a equação (I) na incógnita $x$ e a equação (II) na incógnita $y$, a seguir:

(I)  $\cfrac{x}{m-n}-\cfrac{5m}{m+n}=\cfrac{2nx}{m^2-n^2}$, com $m^2 \neq n^2$.

(II)  $2y^2+xy+8=0$

O valor de $x$ da equação (I) é substituído na equação (II). Se a equação (II), após esta substituição, possui conjunto solução distinto do conjunto vazio nos números reais, então o conjunto mais amplo dos valores de $m$ que atendem esta condição é

a) $\left\{ m\in \mathbb{R} | \space m \le - \cfrac{8}{5}\space ou\space m \ge \cfrac {8}{5} \right\}$

b) $\left\{ m\in \mathbb{R} | - \cfrac{8}{5} \le m  \le \cfrac {8}{5} \right\}$

c) $\left\{ m\in \mathbb{R} | \space  m  \ge \cfrac {8}{5} \right\}$

d) $\left\{ m\in \mathbb{R} | \space  m  = \pm \cfrac {8}{5} \right\}$

RESOLUÇÃO: a

BIZU: Seja uma equação do 2º grau da forma $ax^2+bx+c=0$, com $a \ne 0$. O seu discriminante é dado por $\Delta = b^2-4\cdot a \cdot c$. Assim, temos:

Se $\Delta < 0$, então a equação não possui raízes reais.

Se $\Delta = 0$, então a equação possui uma raiz real dupla.

Se $\Delta >0$, então a equação possui duas raízes reais distintas.

Vamos resolver a equação (I).

Observemos, inicialmente, que $m^2 \neq n^2 \Leftrightarrow m \ne \pm n$.

O mmc dos denominadores é $(m+n)(m-n)$. Reduzindo as frações ao mesmo denominador, vem:

$\cfrac{x}{m-n}-\cfrac{5m}{m+n}=\cfrac{2nx}{m^2-n^2}$ $\Leftrightarrow x \cdot (m+n) -5m \cdot (m-n)= 2nx \cdot 1$

$\Leftrightarrow xm+xn-5m^2+5mn=2nx$ $\Leftrightarrow xm-xn=5m^2-5mn$

$\Leftrightarrow x \cdot (m-n)=5m \cdot (m-n) \Leftrightarrow x=5m$

Substituindo $x=5m$ na equação (II), temos: $2y^2+5my+8=0$.

Para que essa equação tenha conjunto solução não vazio nos reais, seu discriminante deve ser não-negativo. Assim, temos:

$\Delta = (5m)^2-4\cdot2\cdot8=25m^2-64 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - \cfrac{8}{5}\space ou\space m \ge \cfrac {8}{5}$

que aparece na alternativa a).


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Abraço e bom gagá!!!