Questão de análise combinatória da prova de Matemática da EFOMM-2017

Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?

a) 24

b) 120

c) 480

d) 1920

e) 3840

RESOLUÇÃO: c

A palavra caravelas tem 5 consoantes e 4 vogais, sendo 1 letra “E” e 3 letras “A”.

Para que não haja duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas, o anagrama deve ser da forma:

consoante – vogal – consoante – vogal – consoante – vogal – consoante – vogal – consoante.

Dessa forma, as posições de vogais e consoantes no anagrama estão bem definidas. Basta, agora, permutar as 5 consoantes distintas entre si e as 4 vogais entre si, lembrando que, por serem 1 letra “E” e 3 letras “A”, é necessário utilizar permutação com elementos repetidos.

Portanto, a quantidade de anagramas que satisfazem as condições do enunciado é

$P_5 \cdot P_4^{1,3}=5! \cdot \cfrac{4!}{1! \cdot 3!}=120 \cdot 4=480.$

Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.

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Abraço e bom gagá!!!