Questão de probabilidade da prova de Matemática da EFOMM-2017

Seis alunos da EFOMM – três paranaenses, dois cariocas e um alagoano – são colocados em uma fila aleatoriamente. Qual é a probabilidade, então, de que nenhum conterrâneo fique ao lado do outro?

a) $\cfrac{3}{31}$

b) $\cfrac{1}{36}$

c) $\cfrac{1}{24}$

d) $\cfrac{1}{12}$

e) $\cfrac{1}{6}$

RESOLUÇÃO: e

O número de casos do espaço amostral $\Omega$ é a permutação dos $6$ alunos. Assim, temos:

$\#\Omega = 6!=720$.

Para que não haja conterrâneos lado a lado, temos os seguintes casos possíveis.

1º) Os paranaenses estão nas posições 1,3,5 ou 2,4,6. Nesses casos, não há como os cariocas ficarem

lado a lado, então basta permutar os outros 3 alunos. Assim, o número de casos aqui é $2\cdot3!\cdot3!=72$.

2º) Se os paranaenses estão na posição 1,3,6 ou 1, 4,6, um dos cariocas tem que ficar, necessariamente, entre os dois paranaenses mais próximos. Logo, o número de casos é $2\cdot3!\cdot2\cdot2=48$.  (dois casos, vezes a permutação dos paranaenses entre si, escolha de um dos dois cariocas para ficar separado e permutação do carioca e do alagoano).

Portanto, o número de casos favoráveis é $\#A= 72+ 48=120$.

Portanto, a probabilidade pedida é $P(A)=\cfrac{\#(A)}{\#(\Omega)}=\cfrac{120}{720}=\cfrac{1}{6}$.

Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.

Abraço e bom gagá!!!