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quinta-feira, 13 de julho de 2017

Questão de plano no \mathbb{R}^{3} da prova de Matemática da EFOMM 2017

O volume de uma pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano \pi :\space 5x-2y+4z=20   é:
a) \cfrac{20}{3} u.v.
b) \cfrac{50}{3} u.v.
c) \cfrac{100}{3} u.v.
d) 100 u.v.
e) 200 u.v.

RESOLUÇÃO: c

BIZU: Os denominadores abaixo de cada uma das variáveis na equação segmentária do plano representam os pontos onde o plano cruza o eixo coordenado correspondente. Assim, um plano de equação segmentária \cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}+\cfrac{z}{c}=1 cruza o eixo x no ponto de coordenadas (a,0,0), o eixo y, no ponto de coordenadas (0,b,0) e o eixo z, no ponto de coordenadas (0,0,c).


O plano  \pi :\space 5x-2y+4z=20  está representado por sua equação geral e sua equação segmentária é dada por:

 \pi :\space 5x-2y+4z=20 \Leftrightarrow \cfrac{x}{4}+ \cfrac{y}{-10}+\cfrac{z}{5}=1

Isso implica que o plano \pi corta os eixos x, y e z nos pontos de coordenadas (4,0,0), (0,-10,0) e (0,0,5), respectivamente.

A pirâmide determinada pelo plano \pi  e os eixos coordenados está a representada na figura a seguir.



O volume dessa pirâmide é dado por V_{O-ABC}=\cfrac{1}{3}S_{OAB}\cdot OC=\cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{4 \cdot 10}{2} \cdot 5= \cfrac{100}{3} u.v.


Abraço e bom gagá!!!

4 comentários: