Questão de plano no $\mathbb{R}^{3}$ da prova de Matemática da EFOMM 2017

O volume de uma pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano $\pi :\space 5x-2y+4z=20 $  é:

a) $\cfrac{20}{3}$ u.v.

b) $\cfrac{50}{3}$ u.v.

c) $\cfrac{100}{3}$ u.v.

d) $100$ u.v.

e) $200$ u.v.

RESOLUÇÃO: c

BIZU: Os denominadores abaixo de cada uma das variáveis na equação segmentária do plano representam os pontos onde o plano cruza o eixo coordenado correspondente. Assim, um plano de equação segmentária $\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}+\cfrac{z}{c}=1$ cruza o eixo $x$ no ponto de coordenadas $(a,0,0)$, o eixo $y$, no ponto de coordenadas $(0,b,0)$ e o eixo $z$, no ponto de coordenadas $(0,0,c)$.

O plano  $\pi :\space 5x-2y+4z=20 $ está representado por sua equação geral e sua equação segmentária é dada por:

 $\pi :\space 5x-2y+4z=20 \Leftrightarrow \cfrac{x}{4}+ \cfrac{y}{-10}+\cfrac{z}{5}=1$

Isso implica que o plano $\pi$ corta os eixos $x$, $y$ e $z$ nos pontos de coordenadas $(4,0,0)$, $(0,-10,0)$ e $(0,0,5)$, respectivamente.

A pirâmide determinada pelo plano $\pi$  e os eixos coordenados está a representada na figura a seguir.

O volume dessa pirâmide é dado por $V_{O-ABC}=\cfrac{1}{3}S_{OAB}\cdot OC=\cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{4 \cdot 10}{2} \cdot 5= \cfrac{100}{3}$ u.v.

Abraço e bom gagá!!!