Questão de vetores da prova de Matemática da EFOMM-2017

Um paralelepípedo formado pelos vetores $ \overrightarrow { u } =\left( a,a,a \right) $, $ \overrightarrow { v } =\left( 2a,2a,3a \right) $ e $ \overrightarrow { w } =\left( 2a,a,a \right) $ com $a\in \mathbb{R}_{+} $ tem volume igual a 8. Determine o valor de a.

a) $1$

b) $2$

c) $\cfrac {3}{2}$

d) $3$

e) $ \cfrac { 5 }{ 2 } $

RESOLUÇÃO: b

BIZU: O volume do paralelepípedo formado por três vetores não coplanares é igual ao módulo do produto misto desses vetores.

O produtos misto dos vetores $ \overrightarrow {u} $, $ \overrightarrow {v} $ e $ \overrightarrow {w} $ é dado por

$\left[ \overrightarrow { u } , \overrightarrow { v } , \overrightarrow { w }  \right] =\overrightarrow { u } \cdot \overrightarrow { v } \times \overrightarrow { w } =\left| \begin{matrix} { a} & {a} & {a} \\ {2a} & {2a} & {3a} \\ {2a} & {a} & {a} \end{matrix} \right| = {a}^{3}$

O volume do paralelepípedo é $ V = \left| \left[ \overrightarrow { u } , \overrightarrow { v } , \overrightarrow { w }  \right] \right| = \left| {a}^{3} \right| = 8$.

Como $a\in \mathbb{R}_{+} $, então $ a = 2$.

Abraço e bom gagá!!!

Ps.: Essa questão é o meu primeiro teste digitando em Latex diretamente no blog.