Questão de determinantes da prova de Matemática da EFOMM de 2017

Calcule o determinante da matriz $A$ de ordem $n$:

$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 5 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 1 & 1 & 7 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 9 &  \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 2n-1   \end{matrix} \right] $

a) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2i } $
b) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n }{ 2i-1 } $
c) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2^i } $
d) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n }{ 2^{i-1} } $
e) $\displaystyle det\left( A \right) = 1 $


RESOLUÇÃO: a

BIZU: REGRA DE CHIÓ

A Regra de Chió permite reduzir a ordem do determinante no qual $a_{11} = 1$, o que pode ser obtido realizando trocas de filas ou colocando um escalar em evidência.

Regra Prática:

1º) Seja uma matriz de ordem $n$ com $a_{11} = 1$, suprimem-se a 1ª linha e a 1ª coluna.

2º) De cada elemento restante da matriz subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas extremidades das perpendiculares, traçadas do elemento considerado à 1ª linha e à 1ª coluna, que foram suprimidas.

3º) Com as diferenças obtidas, constrói-se uma matriz de ordem $(n-1)$ cujo determinante é igual ao determinante original.

Vamos aplicar esse método para o cálculo do determinante a seguir, onde inicialmente foram trocadas as posições da 1ª e 2ª linhas e depois da 1ª e 3ª colunas para que tivéssemos $a_{11} = 1$:

$ \left| \begin{matrix}6 & 2 & 3 & 5 \\ -2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 7 & 9 \\ 0 & 15 & -2 & 3 \end{matrix} \right|=-\left| \begin{matrix}-2& 3 & 1 & 4 \\ 6 & 2 & 3 & 5 \\ 3 & 2 & 7 & 9 \\ 0 & 15 & -2 & 3 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix}\boxed{1}& 3 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & 6 & 5 \\ 7 & 2 & 3 & 9 \\ -2 & 15 & 0 & 3 \end{matrix} \right|=$            

$=\left| \begin{matrix}2-3\cdot3 & 6-3\cdot(-2)&5-3\cdot4 \\ 2-7\cdot3 & 3-7\cdot(-2) & 9-7\cdot4 \\ 15-(-2)\cdot3 & 0-(-2)\cdot(-2) & 3-(-2)\cdot4 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} -4 & 12 & -7 \\ -19 & 17 & -19 \\ 21 & -4 & 11 \end{matrix} \right| = -757$

Vamos aplicar a Regra de Chió para calcular o determinante da questão proposta.

$ det \left(A \right)=\left| \begin{matrix} \boxed{1} & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 5 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 1 & 1 & 7 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 9 &  \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 2n-1   \end{matrix} \right|_{n\times n} =

\left| \begin{matrix}  2 & 0 & 0 & 0 &  \cdots & 0  \\  0 & 4 & 0 & 0 &  \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 6 &0 &  \cdots & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 8 &  \cdots & 0 \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots & 2n-2   \end{matrix} \right|_{n\times n} =$


              $=2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dots \cdot \left( 2n-2 \right) = \displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2i } $

Abraço e bom gagá!!!